Calculul valorilor si vectorilor proprii

522 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
|x q|
unde r p este raza discului Gershgorin asociat liniei p. Rezultă |λ−a pp| ≤ r p
|x . Similar p|
|x p|
se arată |λ−a qq| ≤ r q . Obţinem |λ−app||λ−aqq| ≤ rprq, i.e. λ ∈ D, q.e.d.
|x q|
P4.42 Ambele valori proprii ale lui A sunt egale cu −1. Un vector propriu unitar
asociat este x = (1/ √ [ ]
1
2) . Pentru obţinerea unei forme Schur se aplică deflaţia ortogonală
în cazul real, respectiv deflaţia unitară în cazul complex sau pentru obţinerea
1
formelor Schur complexe ale unor matrice reale. De exemplu, luând Q = [x y], unde
x T y = 0, obţinem y = ±(1/ √ [ ]
1
2) (de asemenea cu ‖y‖ = 1), de unde rezultă
−1
[ ]
−1 ±4
Q T AQ = . Să remarcăm faptul că deşi matricea A este defectivă (i.e. nu
0 −1
este simplă) forma Schur există şi se poate construi. Valorile proprii ale lui B nu sunt
reale, deci o FSR a lui B este chiar B etc.
P4.43Fie V ∈ IC n×(n−k) ocompletare aluiU pânălaomatrice unitară, [ i.e. astfelîncât ]
U
Q = [U V ] este unitară. Atunci f(X) = ‖Q H H AU −X
(AU −UX)‖ F = ‖
V H ‖ F =
AU
√
= ‖U H AU −X‖ 2 F +‖V H AU‖ 2 F . Evident, minimul lui f este ‖V H AU‖ F şi se atinge
pentru X = U H AU.
P4.44 Prezentăm două soluţii: Soluţia 1. Fie S = U H AU o formă Schur a lui A.
Notând T = U H BU, din AB = BA rezultă ST = TS, cu S superior triunghiulară cu
elementele diagonale distincte. Din egalitatea primelor coloane a acestei relaţii rezultă
sistemul liniar nesingular omogen (S(2:n,2:n)−s 11I n−1)T(2:n,1) = 0, de unde obţinem
T(2:n,1) = 0, i.e. T este superior triunghiulară în prima coloană, etc. Soluţia 2. Dacă
λ ∈ λ(A) şi Ax = λx, atunci BAx = λBx, A(Bx) = λ(Bx) şi, întrucât valorile proprii ale
lui A sunt distincte, A are un set complet de vectori proprii liniar independenţi şi Bx = αx
(Bx este un vector propriu atât pentru A cât şi pentru B). Întrucât procedura de deflaţie
pentru reducerea la forma Schur utilizează vectori proprii, forma Schur a matricelor A şi
B se obţine cu aceeaşi transformare de asemănare (argumente similare se pot aduce şi în
cazul real).
P4.45 a) Fie U 1 un reflector complex (hermitic, v. cap.3) astfel încât U1 H x = ρe 1,
ρ ≠ 0. Atunci v = U1e1 este vectorul căutat. Pentru calculul său (i.e. al elementelor
1¯ρ
definitorii ale reflectorului) se poate utiliza procedura Hc şi relaţia de mai sus. b) Se
verifică imediat că Bx 1 = 0 şi Bx B i = λ ix B i , i = 2 : n. Altfel, consideraţi o matrice unitară
U astfel încât Ue 1 este coliniar cu x 1 şi calculaţi U H BU.
P4.46 a) Prezentăm două soluţii. Soluţia 1 (geometrică). Fie ˜X complementul
ortogonal al subspaţiului Imx şi Ỹ complementul ortogonal al subspaţiului Imy. Fie
Ũ = ˜X ⋂ Ỹ şi V = ˜X + Ỹ. Întrucât dim ˜X = dimỸ = n − 1 şi dim(V) ≤ n, rezultă
n − 1 ≥ dimŨ = dim ˜X + dimỸ − dimV ≥ n − 2, cazul generic fiind dimŨ = n − 2.
Fie, în cazul generic, Ũ ∈ IC n×(n−2) o matrice ale cărei coloane formează o bază ortogonală
pentru Ũ, ˜X = [x2 Ū ] ∈ IC n×(n−1) o matrice ale cărei coloane formează o bază
ortogonală pentru ˜X şi Ỹ = [y 2 Ũ ] ∈ IC n×(n−1) o matrice ale cărei coloane formează
o bază ortogonală pentru Ỹ. Definim matricele X = [x Ỹ ] şi Y = [y ˜X]. Avem
⎡
y H ⎤ ⎡ ⎤
Y H X = ⎣ y2
H ⎦ [ ] 1 0 0
x x 2 Ũ = ⎣ 0 y2 H x 2 0 ⎦ . Arătaţi că x2 şi/sau y 2 pot
Ũ H 0 0 I n−2
fi scalaţi astfel încât y2 H x 2 = 1. Soluţia 2 (procedurală). Fie U 1 reflectorul pentru care