Calculul valorilor si vectorilor proprii

246 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
unde ¯r nn (k) este conjugatul lui r nn. (k) Relaţia (4.120) defineşte iteraţia puterii inverse
pentru determinarea unui vector propriu al matricei H H . În continuare vom arăta
că dacă ultima coloană a matricei unitare de transformare este un vector propriu al
matricei H H atunci elementele extradiagonale ale ultimei linii ale matricei H se a-
nulează, similar cu procedurastandard de deflaţie. Pentru aceastareamintim faptul
că valorile proprii ale matricei H H sunt conjugatele valorilor proprii ale matricei H
şi considerăm transformarea unitară definită de matricea
cu v n un vector propriu al matricei H H , i.e.
˜Q = [ ˆQ vn
]
, (4.121)
H H v n = ¯λ n v n , cu λ n ∈ λ(H). (4.122)
Atunci, din (4.121) şi (4.122) avem
{
v
H
n H ˆQ = λ n v H n ˆQ = 0,
v H n Hv n = λ n v H n v n = λ n ,
(4.123)
de unde rezultă
[
˜Q H H ˜Q
ˆQH
=
v T n
]
H [ [
] ˆQ ˆQH H ˆQ ˆQ ] [ ]
H Hv
vn =
n Ĥ h
H
vn H H ˆQ vn H = .
Hv n 0 λ n
(4.124)
Viteza pătraticăde convergenţăavectoruluicoloană ˜q n (k) din (4.120)cătreun vector
propriu al matricei H H poate fi obţinută alegând pentru deplasarea ¯µ k valoarea
(4.101) a câtului Rayleigh
¯µ k = (˜q(k) n ) H H
(˜q n (k) )
respectiv,
H˜q
(k)
n
(k) H˜q n
= (˜q n (k) ) H (k)
H
H˜q n = e T ˜Q n H k H H ˜Qk e n = e T nHk H (k)
e n = ¯h nn,
µ k = h (k)
nn. (4.125)
Alegerea (4.125) a deplasării originii garantează o rată excelentă de convergenţă
a şirului QR către forma Schur în ultima linie, i.e. de anulare asimptotică a
elementului h (k)
n,n−1 . Când elementul h(k) satisface o condiţie de forma
n,n−1
|h (k)
n,n−1 | < tol(|h(k)
n−1,n−1 |+|h(k) nn
|), (4.126)
unde tol este un nivel prescris de toleranţă, putem considera că h (k)
n,n−1 este numeric
neglijabil şi îl putem anula efectiv. Astfel h (k)
nn devine o valoare proprie calculată a
lui H. După această operaţie, dimensiunea problemei s-a redus cu o unitate.
(ii) Şirul QR implementează simultan o versiune a metodei puterii cu deplasare.
Astfel, în acelaşi timp, şirul QR pune asimptotic în evidenţă, chiar dacă
cu o viteză mai redusă, şi alte valori proprii pe diagonala matricei curente a şirului.