Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 407
5. Dupăîncheiereaprocesuluidediagonalizare,elementelediagonalealematricei
limită J ← J ∞ , i.e. componentele vectorului f, sunt, în general, complexe. Pentru
a obţine o matrice diagonală reală cu elementele diagonale nenegative se aplică o
transformare de echivalenţă unitară definită de
J ← ˜DJ sau J ← JD, (5.100)
unde ˜D = diag(D,I m−n ) cu 21
⎧
⎨
D = diag(d 1 ,d 2 ,...,d n ), d i =
⎩
1, dacă f i = 0
¯f i
|f i | , dacă f i ≠ 0.
(5.101)
După această transformare elementele diagonale ale matricei J, i.e. elementele
vectorului f sunt valorile singulare ale matricei iniţiale.
6. Prin definiţie, în DVS, valorile singulare apar ordonate descrescător. De
aceea, în finalul algoritmului DVS se realizează ordonarea elementelor diagonale
utilizând o secvenţă de permutări elementare bilaterale (i.e. diagonale), definită de
matricele de permutare U P = diag(P,I m−n ), V P = P şi un algoritm de ordonare
a listelor. Având în vedere faptul că ordonarea are o pondere puţin semnificativă
în economia algoritmului DVS, vom utiliza un algoritm popular de sortare, anume
algoritmul bubblesort, şi, din aceleaşi motive de concizie a formulării algoritmului
DVS, vom prezenta un algoritm separat de ordonare.
Algoritmul 5.4 (DVS ORD – Ordonarea valorilor singulare)
(Date matricea diagonală J, prin vectorul f ∈ IR n al elementelor diagonale,
şi matricele unitare U ∈ IC m×m şi V ∈ IC n×n , algoritmul realizează
ordonarea în sens descrescător a elementelor vectorului f, folosind algoritmul
de sortare bubblesort. Opţional, se actualizează matricele
unitare de transformare U şi/sau V, prin permutarea coprespunzătoare
a coloanelor acestora. Opţiunea se exprimă cu ajutorul variabilelor logice
opt 1 şi opt 2 care pot lua valorile ’da’ sau ’nu’. Dacă nu se doreşte
actualizarea, matricele U şi/sau V se returnează nemodificate.)
1. ord = ′ nu ′
2. i = 1
3. C^at timp ord = ′ nu ′ şi i < n
1. ord = ′ da ′
2. Pentru j = n−1 : −1 : i
1. Dacă f j < f j+1 atunci
1. f j+1 ↔ f j
21 În cazul real, matricea diagonală J ∞ este reală, dar poate avea elemente diagonale negative.
Evident, în această situaţie utilizăm transformarea de echivalenţă ortogonală definită de matricea
D având
{ 1, dacă fi ≥ 0,
d i =
−1, dacă f i < 0.