Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 481
6. H(:,n−2: n−1) = Hrd(H(:,n−2 : n−1),u,β)
7. T(1 : n−2,n−2: n−1) = Hrd(T(1 : n−2,n−2: n−1),u,β)
8. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,n−2: n−1) = Hrd(Z(:,n−2 : n−1),u,β)
9. [H(n−1 : n,n−2),u,β] = Hr(H(n−1 : n,n−2))
10. H(n−1 : n,n−1 : n) = Hrs(u,β,H(n−1 : n,n−1 : n))
11. T(n−1: n,n−1 : n) = Hrs(u,β,T(n−1: n,n−1 : n))
12. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Q(:,n−1: n) = Hrd(Q(:,n−1 : n),u,β)
13. [T(n,n−1: n),u,β] = Hrm(T(n,n−1: n))
14. H(:,n−1: n) = Hrd(H(:,n−1 : n),u,β)
15. T(1 : n−1,n−1: n) = Hrd(T(1 : n−1,n−1: n),u,β)
16. Dacă opt = ′ da ′ atunci
Z(:,n−1: n) = Hrd(Z(:,n−1 : n),u,β)
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului de mai sus va fi
[H,T,Q,Z] = IT QZ2(H,T,Q,Z,w,opt).
ComplexitateaunuipasdubluQZînimplementareademaisusesteO(n 2 ). Concret,
pentru execuţia algoritmului 6.7 sunt necesari N op ≈ 32n 2 flopi fără acumularea
transformărilor,N op ′ ≈ 20n2 pentru calculul matricei Z, N op ′′ ≈ 12n2 pentru calculul
matricei Q, la care se adaugă cele 2(n−1) extrageri de radical. ✸
D. Algoritmul QZ pentru matrice reale
Algoritmul QZ pentru matrice reale reproduce structura algoritmului omonim pentru
matrice complexe cu următoarele aspecte specifice:
a) în faza iterativă monitorizarea structurii matricei H are loc cu evidenţierea
blocurilor diagonale 2×2;
b) faza iterativă a algoritmului QZ se termină în momentul în care ordinul
submatricii H 22 scade la cel mult 2, i.e. q devine mai mare decât n−3.
c) după terminarea fazei iterative, algoritmul se completează cu reducerea la
forma superior triunghiulară a perechilor de blocuri diagonale 2×2 care au valori
proprii generalizate reale.
Rezolvarea problemelor ridicate de primele două aspecte este imediată. În ceea
ce priveştepunctul c), triangularizareaperechilorde blocuri diagonale2×2cu valori
proprii reale se face în felul următor.
Fie perechea ( ˜H, ˜T) ∈ IR 2×2 ×IR 2×2 cu ˜h 21 ≠ 0 şi valorile proprii generalizate
reale λ 1 şi λ 2 . Atunci
[ ]
λ1˜t 22 −˜h 22
v =
(6.67)
˜h 21
este un vector propriu generalizat asociat lui λ 1 , i.e. ˜H v = λ1 ˜T v şi S = Imv
este un subspaţiu de deflaţie al fascicolului ( ˜H, ˜T). Matricele ˜Q şi ˜Z care definesc