Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.5. CALCULUL VECTORILOR PROPRII 285
schema de calcul VP 2 , care presupune acumularea transformărilor numai în faza
directă (neiterativă) a algoritmuluiQR şi aplicareametodei puterii inverse matricei
superior Hessenberg rezultată în această fază 34 . De aceea considerăm util să semnalăm
unele dificultăţi ce pot apărea la rezolvarea unor sisteme (de tip Hessenberg)
aproape singulare.
Fie A ∈ IC n×n şi H = Q H AQ matricea superior Hessenberg obţinută, e.g. cu algoritmulHQ.Reamintimcămetodaputeriiinverse(v.
§4.3)decalculalunuivector
propriu al matricei H constă într-un proces iterativ bazat pe relaţia de recurenţă
(H −µI n )z k+1 = ρ k z k , k = 0,1,..., z 0 arbitrar, (4.184)
unde ρ k este un factor scalar de normare. Spre deosebire de cazul curent, aici
vom presupune că deplasarea µ este o valoare proprie calculată a matricei H (şi,
în limitele preciziei de calcul, a matricei A). Notăm cu λ 1 valoarea proprie exactă
a matricei H a cărei aproximaţie este µ. Admiţând că µ a fost calculată cu un
algoritm numeric stabil (cum este, e.g. algoritmul QR) rezultă că µ este o valoare
proprie exactă a matricei G = H +E unde E este o matrice de perturbaţie
de normă spectrală ”mică”, i.e. satisfăcând ‖E‖ ≤ ǫ‖H‖, unde ǫ are ordinul de
mărime al erorilor de reprezentare (v. § 4.11). Dacă, în plus, λ 1 este o valoare bine
condiţionată (v. §4.10) atunci
η = λ 1 −µ (4.185)
esteşieadeordinulde mărimeallui ǫ‖H‖. PresupunândcămatriceaH estesimplă,
i.e. există vectorii proprii w i , i = 1 : n, care formează o bază a lui IC n , şi scriind
rezultă
z 0 =
n∑
γ i w i , (4.186)
i=1
z k = ˜ρ k (γ 1 w 1 +η k n ∑
i=2
γ i
(λ i −µ) kw i), (4.187)
unde ˜ρ k este un factor cumulat de normare. Dacă γ 1 nu este neglijabilă (ceea ce este
o ipoteză plauzibilă) şi λ 1 este o valoareproprie simplă şi ”suficient de bine separată
de celelalte”, i.e. |λ i −µ| ≫ |η|, i = 2 : n (ceea ce nu este întotdeauna adevărat),
atunci z k devine coliniar cu w 1 , cu precizia formatului virgulă mobilă, practic într-o
singură iteraţie, cu toate că sistemul (4.184) este aproape singular şi, deci, posibil
rău condiţionat. Dacă însă λ 1 nu este simplă, sau nu este suficient de departe
de celelalte sau este rău condiţionată, atunci analiza de mai sus nu poate garanta
acurateţea rezultatului, chiar dacă se execută mai multe iteraţii. Pentru a depista
astfel de situaţii şi pentru a le depăşi, în [X] se propune determinarea unui factor
de creştere definit după cum urmează. Fie z vectorul propriu de normă euclidiană
unitară (i.e. ‖z‖ 2 = z H z = 1) calculat cu metoda puterii inverse. Considerăm
reziduul
r = Hz −µz. (4.188)
34 Renunţarea completă la acumularea transformărilor şi aplicarea, după determinarea valorilor
proprii, a metodei puterii inverse matricei iniţiale se consideră a fi o procedură mai puţin avantajoasă.