Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 271
4. % Triangularizareablocurilor diagonale 2×2 cu valori proprii reale
1. k = 1
2. C^at timp k < n
1. Dacă a k+1,k = 0 atunci k = k +1,
altfel
1. [A,c,s] =TRID2(A,k)
2. Dacă opt =’da’ şi c ≠ 1 atunci
1. Q(:,k:k+1) = Grd(Q(:,k:k+1),c,s)
3. k = k +2
Comentarii. În aspectele sale esenţiale, algoritmul de mai sus stă la baza tuturor
programelor profesionale de calcul al valorilor proprii ale unei matrice reale.
Precizările referitoare la aspectele de organizare a algoritmului făcute la varianta
complexă rămân valabile. Sintaxa de utilizare a algoritmului de mai sus va fi
[A,Q] = QR2(A,Q,tol,opt).
Acceptând evaluarea conform căreia sunt suficiente, în medie, două iteraţii
pentru a pune în evidenţă o valoare proprie, algoritmul necesită un număr de
Nop A = 30n3 flopi fără acumularea transformărilor, Nop Q = 16n3 flopi suplimentari
pentru calculul vectorilor Schur, i.e. al matricei ortogonale Q. Putem, deci,
considera că pentru matrice de ordin superior (e.g. n > 100) algoritmul QR2 are o
complexitate O(n 3 ).
Şi aici, utilizarea exclusivă a transformărilor ortogonale conferă algoritmului
QR2 o foarte bună stabilitate numerică. Pentru aspecte suplimentare, referitoare
la condiţionarea valorilor proprii şi stabilitatea numerică a algoritmului de mai sus,
vezi secţiunile §4.10 şi §4.11.
✸
H. Permutare şi echilibrare
Implementările profesionale ale algoritmului QR conţin o fază de prelucrări preliminare
efectuate asupra matricei A care urmăresc două obiective:
– a) creşterea eficienţei prin evidenţierea eventualelor valori proprii ”izolate”
utilizând exclusiv transformări de asemănaredefinite de matrice de permutare (deci
fără efectuarea de operaţii aritmetice);
– b) îmbunătăţirea condiţionării spectrului de valori proprii prin transformări
de asemănare diagonale şi, în acest mod, asigurarea unei acurateţi superioare a
rezultatelor.
Permutare
Dacă matricea A ∈ IC n×n are toate elementele extradiagonale ale liniei sau coloanei
i nule, atunci elementul diagonal (i,i) este o valoare proprie a matricelor A T şi A
şi, fapt esenţial, e i este un vector propriu al matricei A T , respectiv A, asociat ei.
De aceea, elementul diagonal (i,i) poate fi adus în poziţia (1,1) sau (n,n) printr-o