Calculul valorilor si vectorilor proprii

474 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Sintaxa de apel este
[S,T,Q,Z] = QZ1(A,B,Q,Z,tol,opt),
perechea (S,T) în FSG putând suprascrie (intern) perechea (A,B).
La fel ca în cazul algoritmului QR, există date de intrare pentru care algoritmul
nu este convergent, deşi acest lucru se întâmplă extrem de rar în practică. Aici,
după30deiteraţiifărăprogresulparametruluistructuralq sedeclarăeşeculdeşimai
există şanse de convergenţă printr-o modificare empirică a vectorului de deplasare
(v. cap. 4).
Printre rafinările posibile care nu au fost incluse este opţiunea de a fi calculată
numai una din matricele de transformare (de obicei Z, ale cărei prime coloane
reprezintă o bază pentru spaţiul de deflaţie asociat primelor valori proprii generalizate,
vezi secţiunea următoare). De asemenea, din raţiuni de claritateaprezentării,
s-a preferat acumularea transformărilor în cadrul unei iteraţii în matricele de transformare
”curente” Q c şi Z c şi apoi aplicarea lor celorlalte blocuri afectate şi matricelor
de transformare Q şi Z sub forma unor înmulţiri cu matrice dense fapt care
poate conduce la o anumită reducere (totuşi puţin semnificativă) a eficienţei.
Datorită procesului iterativ, complexitatea algoritmului depinde de datele de
intrare. Viteza de convergenţă a procesului iterativ este similară cu cea a algoritmului
QR. Evaluările experimentale converg către aprecierea că, în medie, două
iteraţii sunt suficiente pentru a pune în evidenţă o valoare proprie generalizată. În
această situaţie, pentru fascicole de ordin superior (e.g. n > 100) se poate aprecia
că algoritmul QZ are o complexitate O(n 3 ). Evaluări mai fine sunt date la varianta
reală.
Utilizarea exclusivă a transformărilor unitare conferă algoritmului QZ1 o foarte
bună stabilitate numerică. Se arată că forma Schur generalizată (S,T) calculată
este forma Schur generalizată exactă a unei perechi foarte apropiate de perechea
(A,B) dată. Concret, avem
S = ˜Q H (A+E)˜Z,
T = ˜Q H (B +F)˜Z,
unde ˜Q, ˜Z sunt matrice riguros unitare, iar matricele de perturbaţie E şi F satisfac
condiţiile
‖E‖ 2
≈ ε M ‖A‖ 2
, ‖F‖ 2
≈ ε M ‖B‖ 2
,
cu ǫ precizia maşinii ţintă. Pentru consideraţii suplimentare vezi secţiunea 6.5. ✸
C. Un pas QZ pentru matrice reale
În cazul perechilor (H,T) reale un spor important de eficienţă se obţine utilizând o
aritmetică realăcare impune utilizarea une strategii a paşilor dubli. În conformitate
cu cele arătate în capitolul 4, un pas dublu QR cu deplasare implicită pentru
matricea G k = H k T −1
k
constă în efectuarea următoarelor operaţii:
1. Se calculează prima coloană q (k)
1 a matricei Q k ce defineşte transformarea
ortogonală aferentă unui pas dublu QR cu deplasare explicită.