Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 267
structurală a acestor anulări în vederea obţinerii unei eficienţe maxime. După
epuizarea procedurii de iterare se obţine o matrice cvasisuperior triunghiulară, ortogonal
asemenea cu matricea iniţială, cu blocurile diagonale de dimensiune cel
mult 2×2. Pentru obţinerea unei forme Schur reale a matricei iniţiale, algoritmul
se completează cu reducerea la forma superior triunghiulară a blocurilor diagonale
2×2 care au valori proprii reale.
Aspectele tehnice, pe care le trecem succint în revistă mai jos, sunt similare cu
cele din cazul complex.
Pentrudeciziiledesetarelazeroaelementelorsubdiagonaleseutilizeazăcriteriul
dat de relaţia (4.144).
Similarcualgoritmul4.6, pentru monitorizareaevoluţieistructuraleamatricelor
din şirul QR, la fiecare iteraţie, după anularea elementelor subdiagonale care satisfac
condiţia (4.144), se va determina cel mai mic întreg p şi cel mai mare întreg q
astfel încât matricea Hessenberg curentă să aibă structura (4.146) cu H 11 ∈ IC p×p ,
H 22 ∈ IC (n−p−q)×(n−p−q) superior Hessenberg ireductibilă şi H 33 ∈ IR q×q cvasisuperior
triunghiulară (i.e. cu blocurile diagonale de dimensiune cel mult 2 × 2).
Astfel, blocurile diagonale ale submatricei H 33 au valori proprii pe care le considerăm
”deja evidenţiate” (alte valoriproprii evidenţiate se pot găsi printrevalorile
proprii ale blocurilor diagonale de dimensiune cel mult 2×2 ale submatricei H 11 ),
iar iteraţia QR se va aplica, de fapt, numai submatricei H 22 (v. (4.146)-(4.148)).
Această transformare afectează celelalte blocuri ale matricei H din (4.146) ca în
relaţia (4.149).
Faza iterativă a algoritmului QR se termină în momentul în care ordinul submatricei
H 22 scade la cel mult 2, i.e. q devine mai mare sau egal cu n−2.
Supravegherea convergenţei procesului iterativ se efectuează similar cu cazul
complex, cu următoarele aspecte specifice:
– aprecierea convergenţei se face la nivelul evidenţierii unui bloc diagonal în
colţul din dreapta jos al submatricei H 22 (în 10 sau 20 de iteraţii pentru modificarea
modului de calcul alvectoruluide deplasareimplicită, respectiv 30de iteraţii pentru
renunţarea la continuarea calculului);
– pentru calculul vectorului de deplasare implicită w modificat în (4.152) se vor
utiliza următoarele relaţii empirice pentru suma şi produsul deplasărilor µ 1 şi µ 2
{
s = 1.5(|hn−q,n−q−1 |+|h n−q−1,n−q−2 |)
p = (|h n−q,n−q−1 |+|h n−q−1,n−q−2 |) 2 (4.156)
,
valorile şi vectorii [ proprii ale ] matricei C se pot exprima în funcţie de valorile şi vectorii proprii ale
A −B
matricei F = ∈ IR
B A
2n×2n . Concret, fiecărei valori proprii complexe λ k a matricei C,
cu x k = u k +iv k (u k ,v k ∈ IR n ) vector propriu asociat, îi corespund [ valorile ] proprii λ]
k şi conjugata
ei ¯λ uk
k , ale matricei reale F, cu vectorii proprii asociaţi de forma −i[ −vk
şi, respectiv,
v k u
[ ] ]
k
uk
+i[ −vk
, iar fiecărei valori proprii reale λ
v k u k , cu vectorul propriu asociat notat identic,
k
i.e. x k = u k + iv k cu u[ k , v k ∈]
IR n [, a matricei ] C, îi corespunde o valoare proprie dublă λ k şi doi
uk −vk
vectori proprii asociaţi şi ai matricei reale F. Dacă se calculează numai valorile
v k u k
proprii ale matricei F nu se poate deduce prin mijloace simple care din valorile proprii complex
conjugate ale matricei F aparţin spectrului lui C.