Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 507
1. [M,U,p] = GPP(A)
2. Pentru j = 1 : m
1. Pentru s = 1 : n−1
1. b sj ↔ b p(s),j
1. Pentru i = s+1 : n
1. b ij ← b ij −µ isb sj
2. x j = UTRIS(U,b j)
Numărul de operaţii este 2n 3 /3+O(mn 2 ).
P2.16 În cazul utilizării GPP, sistemul iniţial AT y = c este echivalent cu sistemul
inferior triunghiularR T z = c, undez = M −T
n−1 Pn−1...M−T 1
P 1y. Dupărezolvareaacestuia,
se calculează y = P 1M1 T ...P n−1Mn−1z.
T
P2.17 Din nou, nu trebuie nici calculat A k (2kn 3 flopi), nici utilizat algoritmul bazat
pe relaţia A(A k−1 x) = b, aplicat recursiv:
1. Pentru j = 1 : k
1. rezolvă Ax = b utilizând S GPP
2. b ← x
care necesită 2kn 3 /3 flopi. Din nou, GPP poate fi utilizat o singurădată pentrurezolvarea
tuturor sistemelor din instrucţiunea 1.1 a schemei de mai sus. Se obţine:
1. [M,U,p] = GPP(A)
2. Pentru j = 1 : k
1. Pentru s = 1 : n−1
1. b s ↔ b p(s)
1. Pentru i = s+1 : n
1. b i ← b i −µ isb s
2. b = UTRIS(U,b)
3. x ← b
Numărul de operaţii este de doar 2n 3 /3+O(kn 2 ).
P2.18 Varianta 1: se calculează D = AB, apoi se aplică algoritmul precedent; cost
suplimentar faţă de acesta: 2n 3 .
Varianta 2: se aplică GPP ambelor matrice A şi B, apoi se adaptează algoritmul
precedent, ”dublând” instrucţiunea 2. Cost suplimentar: 4n 3 /3+2kn 2 . Această variantă
e recomandabilă, în general.
P2.19 (a) implică 2n 3 /3 operaţii complexe, adică aproximativ 8n 3 /3 operaţii reale.
(b) implică 2(2n) 3 /3 operaţii.
P2.20 Notând X = A −1 şi x j coloana j a lui X, trebuie rezolvat doar sistemul
LUx j = e j. Sistemul Ly = e j se rezolvă adaptând LTRIS (ca în LINV) iar sistemul
Ux j = y se rezolvă cu UTRIS, oprind calculele atunci când x ij a fost obţinut.
P2.22 a. Prin calcul direct, avem A +A −1
+ = I.
b. Se calculează ˜B = A −1 B, ˜C = CA −1 (cu 4n 2 r flopi). Se calculează D + cu
2n 2 r + 2nr 2 flopi. Se rezolvă D +X = C ca în problema 2.15, cu 2r 3 /3 + 2nr 2 flopi. În
sfârşit, A −1
+ = A−1 −BX, cu un cost de încă 2n 2 r flopi. Presupunând r ≪ n, costul total
este de O(rn 2 ). În cazul 1◦ , costul se reduce la jumătate.
P2.23 a. Presupunem întâi că u 1 ≠ 0. Fie M = I −me T 1 o matrice inferior triunghiulară
elementară astfel încât Mu = u 1e 1; evident, m i = u i/u 1, i = 2 : n. Considerăm
matricea B = MAM −1 = I +Muv T M −1 = I +u 1e 1w T ; deoarece M −1 = I +me T 1, avem
w T = v T M −1 = v T + (v T m)e T 1. În concluzie B este superior triunghiulară, cu b ii = 1,
pentru i ≥ 2 şi deci detA = detB = b 11 = 1+u T v.