Calculul valorilor si vectorilor proprii

300 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului 4.20 este
X = SYLVc(A,B,C).
Complexitateaalgoritmuluieste O(n 3 ). Evident, efortulde calculcel maiimportant
se consumă în execuţia instrucţiunilor 1 şi 2 de aducere la forma Schur a matricelor
A, B şi de acumulare a transformărilor (dar nici efortul pentru rezolvarea ecuaţiei
Sylvester triunghiulare şi efectuarea produselor matriceale nu poate fi neglijat).
Dacă numim, ad-hoc, metoda prezentată mai sus varianta Schur-Schur, din motive
de asigurare a unei eficienţe maxime, se impune analiza alternativelor în care se
renunţă la aducerea la forma Schur a ambelor matrice A şi B. Astfel, în aşa numita
variantă Hessenberg-Schur numai matricea B este adusă la forma Schur apărând
următoarele diferenţe în raport cu algoritmul 4.20 de mai sus:
– în instrucţiunea 1 matricea A este adusă, printr-un algoritm de calcul direct
(neiterativ) – algoritmul HQc – la forma superior Hessenberg; în acest fel se evită
faza iterativă a algoritmului QR1;
– în compensaţie, la instrucţiunea 3, în loc de rezolvarea unei ecuaţii Sylvester
triunghiulare se rezolvă o ecuaţie Sylvester Hessenberg-triunghiulară, ceea ce presupune
rezolvarea a n sisteme de tip Hessenberg, incluzând eliminare gaussiană cu
eventuală pivotare.
Evaluările existente apreciază că varianta Hessenberg-Schur este cu 30 până la
80 procente mai eficientă. Scrierea explicită a algoritmului Hessenberg-Schur este
propusă cititorului ca exerciţiu.
Evident, matricele S şi T pot suprascrie matricele A şi, respectiv, B după cum
matricea Y a rezultatelor intermediare şi soluţia X pot suprascrie matricea C dar
s-a preferat scrierea de mai sus pentru claritatea prezentării algoritmului. ✸
În cazul uzual, în care datele de intrare, i.e. matricele A, B şi C, sunt reale
soluţia X este reală şi toate calculele se pot efectua într-o aritmetică reală. Pentru
aceasta, în locul formei Schur complexe se utilizează reducerea la forma Schur reală.
Ne propunem mai întâi să rezolvăm ecuaţia Sylvester
SY −YT = C, (4.215)
în care matricele S ∈ IR m×m şi T ∈ IR n×n au structuri cvasi-superior triunghiulare
(i.e. cu blocurile diagonale de ordin cel mult 2)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
S 11 S 12 ··· S 1p T 11 T 12 ··· T 1q
0 S 22 ··· S 2p
S = ⎢ . .
⎣
.
. . ..
. ⎥
. ⎦ , T = 0 T 22 ··· T 2q
⎢ . .
⎣
.
. . ..
. ⎥
. ⎦ , (4.216)
0 0 ··· S pp 0 0 ··· T qq
iar C ∈ IR m×n . Algoritmul corespunzător acestei situaţii structurale este cunoscut
sub denumirea de algoritmul Bartels-Stewart [4].
Procedura urmăreşte cu fidelitate ideile din algoritmul 4.19, cu singura deosebire
că în locul unor scalari apar blocuri i × j cu i,j ∈ {1,2}. Partiţionăm
matricea necunoscutelor Y = [Y ij ] i=1:p,j=1:q şi matricea termenilor liberi C =
= [C ij ] i=1:p,j=1:q conform cu partiţiile (4.216) ale matricelor S şi T.