Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.13. PROBLEME 367
P 4.59 Adaptaţi algoritmul TQ pentru tridiagonalizarea prin transformări unitare (ortogonale)
de asemănare a unei matrice antihermitice (antisimetrice) A ∈ IC n×n (A ∈ IR n×n ).
[ ]
P 4.60 a) Se consideră matricea H ∈ IR 2×2 not α γ
cu valori proprii reale şi fie H k =
ǫ β
matricea curentă a şirului QR al matricii H. Utilizând deplasarea µ k = β calculaţi
matricea succesor H k+1 . Ce se poate spune despre convergenţa şirului QR din examinarea
expresiei elementului H k+1 (2,1)
[ ]
b) Se consideră matricea simetrică T ∈ IR 2×2 not α ǫ şi fie T k = matricea curentă a
ǫ β
şirului QR simetric al matricii T. Utilizând deplasarea µ k = β calculaţi matricea succesor
T k+1 . Ce se poate spune despre convergenţa şirului QR simetric din examinarea expresiei
elementelor extradiagonale T k+1 (1,2) = T k+1 (2,1)
[ ]
0 d
P 4.61 a) Considerăm matricea simetrică A = , cu d ≠ 0. Calculaţi valorile
d 0
şi vectorii proprii[ ai matricei ] A. b) Fie matricea D = diag(d 1,d 2...,d n), unde d i ≠ d j,
0 D
∀i ≠ j, şi B = ∈ IR 2n×2n . Scrieţi un algoritm pentru calculul valorilor şi
D 0
vectorilor proprii ai matricei B.
P 4.62 a) Fie T ∈ IR n×n o matrice tridiagonală, simetrică şi pozitiv definită. Scrieţi şi
implementaţi următorul algoritm iterativ:
1. Pentru k = 1,2,...
1. Se calculează factorul Cholesky L al matricei T.
2. T ← T ′ = L T L.
Ce constataţi b) Arătaţi că în cazul n = 2 şi t 11 ≥ t 22 şirul matricelor T calculat de
algoritmul de la punctul a) converge către Λ = diag(λ 1,λ 2), unde {λ 1,λ 2} = λ(T).
P 4.63 a) Se consideră o matrice tridiagonală simetrică T ∈ IR n×n . Să se arate că dacă
T are valori proprii multiple, atunci T nu poate fi ireductibilă. Mai mult, să se arate că
dacă T are o valoare proprie cu ordinul de multiplicitate k ≥ 2, atunci are cel puţin k−1
elemente subdiagonale (şi, corespunzător, cele simetrice supradiagonale) nule. b) Aplicaţi
algoritmul TQ de reducere la forma tridiagonală unei matrice simetrice având o valoare
proprie multiplă. Ce constataţi Puteţi da o justificare celor constatate
P 4.64 Fie o matrice simetrică A ∈ IR n×n şi o iteraţie Jacobi A ← A ′ = J T AJ, unde
J(p,q,θ) este o rotaţie plană de unghi θ în planul (p,q). Să se arate că, pentru întregii p şi
q fixaţi, rotaţia care anulează elementele A(p,q) şi A(q,p) asigură minimizarea, în raport
cu unghiul θ, a normei Frobenius a matricei elementelor extradiagonale ale matricei A ′ .
[ ]
α γ
P 4.65 a) Fie date A = ∈ IR 2×2 , cu λ(A) = {λ
γ β
1,λ 2}, şi un scalar real δ.
Arătaţi că, dacă δ ∈ [λ 1,λ 2], atunci există o rotaţie Jacobi reală J =
[
c s
−s c
]
astfel
încât (J T AJ)(1,1) = δ. b) Considerăm matricea simetrică A ∈ IR n×n . Elaboraţi un
algoritm de calcul al unei secvenţe de rotaţii Jacobi Q = J 1J 2..., astfel încât matricea
B = Q T AQ să aibe toate elementele diagonale egale b 11 = b 22 = ... = b nn = 1 n tr(A) =
= 1 n
∑ n
i=1 λi(A).