Calculul valorilor si vectorilor proprii

524 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
Dacămatricea A are valorile proprii distincte, λ k = A(k,k), z k este soluţia sistemului liniar
(A(1 : k−1,1 : k−1)−λ k I k−1 )z k = −A(1 : k−1,k : n)˜x k (unde A este matricea dată aflată
în starea de dupăexecuţia pasului [ ] curent k din schema de mai sus) şi Q k = diag(I k−1 , ˜Q k ),
zk
atunci x k = Q 1Q 2...Q k−1 este vector propriu al matricei iniţiale asociat valorii
˜x k
proprii λ k .
P4.50 Schema de calcul este similară celei care stă la baza algoritmului HQ:
1. Pentru k = 1 : n−2
1. Se determină i k astfel încât |a ik k| = max i=k+1:n (|a ik |)
2. A(i k ,k : n) ↔ A(k +1,k : n)
3. Se determină matricea inferior triunghiulară elementară M k+1
astfel încât (M k+1 A)(k +2 : n,k) = 0
4. A = M k+1 A
5. A(:,k +1) ↔ A(:,i k )
6. A = AM −1
k+1 .
Schema este de două ori mai eficientă decât algoritmul HQ.
P4.51 Ideea este următoarea: găsiţi un reflector elementar (hermitic) U 1, astfel încât
U1 H z = ρe 1. Calculaţi A 1 = U1 H AU 1. Apoi, reduceţi A 1 la forma superior Hessenberg
H = ˜Q H A 1 ˜Q folosind algoritmul HQ. Matricea Q = U1 ˜Q defineşte transformarea unitară
dorită, întrucât Q H z = Un−1U H n−2...U H 2 H U1 H z = ρe 1.
P4.52 Testaţi, parcurgând prima subdiagonală, că nu există blocuri diagonale de ordin
mai mare decât 2 şi, apoi, că blocurile de ordinul 2 au valorile proprii complexe.
P4.53 Dacă Q = Q H este reflectorul (hermitic) pentru care Q H u = ρe 1, atunci S =
= Q H AQ = I n +ρe 1v H Q este superior triunghiulară şi λ 1 = s 11 = 1+ρv H q 1, unde q 1 =
= Qe 1 = 1 u este prima coloană a lui Q. Deci ρ λ1 = 1+vH u. Celelalte n−1 valori proprii
sunt λ i = s ii = 1, i = 2 : n. u este vector propriu asociat lui λ 1. Fie acum, Y reflectorul
(hermitic) astfel încât Y H v = σe 1. Atunci SY(:,2:n) = Y(:,2:n), i.e. y j = Y(:,j),
j = 2 : n, sunt vectori proprii ai matricei S, iar x j = Qy j sunt vectori proprii ai matricei
A, asociaţi valorilor proprii egale cu 1.
P4.54 Aplicând [ lema de ] deflaţie ortogonală, se calculează matricea ortogonală U astfel
λ c
încât U T T
HU = . Fie acum matricea ortogonală V, de ordinul n−1, astfel încât
0 B
G = V T BV este superior Hessenberg (utilizaţi algoritmul HQr). Matricea căutată este
Q = Udiag(1,V).
P4.55 a) Secvenţa de pustmultiplicare a matricii superior triunghiulare R cu matricile
P k şi M −1
k
afectează la pasul curent k numai coloanele k şi k+1, de unde rezultă imediat
conservarea structurii superior Hessenberg.
P4.56 Fără a reduce generalitatea, admitem ca restricţie a matricei A la subspaţiul
A-invariant căutat chiar submatricea A 22. Fie, în această ipoteză, X def
= [x 1 x 2] ∈ IR
[ ]
n×2
X1
şi considerăm partiţia X = X 2 , conformă cu dimensiunile blocurilor diagonale. Din
X 3
ecuaţia matricială AX = XA 22 rezultă X 3 = 0 ca unică soluţie a ecuaţiei Sylvester
omogene A 33X 3 = X 3A 22. În continuare, X 2 este orice matrice reală nesingulară 2 × 2
care comută cu A 22 (e.g. X 2 = I 2), iar X 1 se obţine rezolvând ecuaţia matriceală Sylvester
A 11X 1 −X 1A 22 = −A 12X 2.
P4.57 Avem λ 1(A) = 2 − √ 5, λ 2(A) = 2 + √ 5, iar doi vectori proprii asociaţi sunt
x 1 =
[
2
1− √ 5
]
, x 2 =
[
2
1+ √ 5
]
. Cei doi vectori proprii sunt ortogonali întrucât