Calculul valorilor si vectorilor proprii

316 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
matricea obţinută după primii k−1 paşi, partiţionată convenabil, în care T (k)
11 este
tridiagonală, simetrică, iar
T (k)
21 = (T(k) 12 )T = [0 0 ··· 0 t (k)
k,k−1 ].
Având în vedere faptul că reflectorul elementar U k+1 are structura
[ ]
Ik 0
U k+1 = , (4.270)
0 Ū k+1
unde
A ← T (k+1) = U k+1 T (k) U k+1 =
Ū k+1 = I n−k − ūk+1ū T k+1
β k+1
, ū k+1 ∈ IR n−k , (4.271)
este un reflector elementar de ordin n − k şi indice 1, transformările efectuate la
pasul k au ca efect
⎡
⎤
T (k)
11 T (k)
12 0
Cum
⎢
⎣
T (k)
21 T (k)
22 T (k)
23 Ūk+1
0 Ū k+1 T (k)
32
Ū k+1 T (k)
33 Ūk+1
T (k)
23 Ūk+1 = (Ūk+1T (k)
32 )T = [−σ 0 0 ··· 0],
⎥
⎦ . (4.272)
cu σ = sgn(T (k)
32 (1,1))‖T(k) 32 ‖ 48 , rămâne să efectuăm în mod eficient calculul matricei
simetrice
A(k +1 : n,k +1 : n) ← T (k+1) (k)
33 = Ūk+1T 33 Ūk+1. (4.273)
Considerăm necesar să precizăm aici faptul că performanţele deosebite privind
memoria utilizată şi eficienţa calculatorie din cazul simetric se datoresc unei judicioase
exploatări a proprietăţii de simetrie. Astfel, o memorare economică a unei
matrice simetrice se face reţinând numai elementele din triunghiul său inferior sau
superior. De asemenea, când se cunoaşte faptul că rezultatul unei procesări este
o matrice simetrică, se calculează, evident, numai elementele sale din triunghiul
inferior sau superior.
În consecinţă, în (4.273) vom calcula, de exemplu, numai elementele din triunghiulinferioralmatriceiT
(k+1)
33 . De asemenea,ţinândseamade(4.271)şinotând,
pentru simplificarea scrierii,
relaţia (4.273) devine
ū k+1
not
= ū, β not
= β k+1 ,
T (k+1)
33 = (I n−k − ūūT
β )T(k) 33 (I n−k − ūūT
β ) =
48 Pentru calculul reflectorilor şi semnificaţia notaţiilor utilizate, vezi capitolul 3.