Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 459
În cazul real toate rotaţiile sunt reale şi, aplicate unor matrice iniţiale reale, conduc
la o pereche rezultat reală. De asemenea, matricele de transformare cumulate
sunt reale ca produse de matrice reale.
Caracterul finit al calculului este evident. Demonstraţia este completă. ✸
Demonstraţia teoremei de mai sus conduce imediat la următoarea structură a
algoritmului de reducere a unei perechi (A,B) la forma Hessenberg generalizată.
HT 1. Se calculează triangularizarea unitară a matricei B, i.e. matricea unitară
Q şi B ← Q H B astfel încât noul B este superior triunghiular
2. A ← Q H A
3. Pentru k = 1 : n−2
1. Se execută procedura HT-k
Pentruscriereaformalăaalgoritmuluivomutilizaoprocedurădetriangularizare
unitarăauneimatricecomplexeutilizândreflectorihermitici, prezentatăîncapitolul
3. Pentru scopurile noastre, sintaxa de apel a acestei proceduri va fi 10
[B,U,b] = TUN(B),
i.e. procedura suprascrie matricea argument B cu rezultatul triangularizării şi
livrează, în matricea U ∈ IC n×(n−1) şi vectorul b ∈ IR n−1 , elementele definitorii
ale reflectorilor complecşi hermitici U k = I n − 1
b(k) U(:,k)(U(:,k))H utilizaţi. (Precizăm
că U(1 : k−1,k) = 0, k = 2 : n−1.) De asemenea, vom folosi procedurile din
tabelul 4.3 (vezi capitolul 4), la care vomadăugaoprocedură suplimentarănecesară
pentru procesările legate de anularea elementelor alterante ale structurii superior
triunghiulare a matricei B şi anume [ procedura ] Gcm pentru calculul unei rotaţii
c s
complexe bidimensionale Z 12 = ”modificate” care aplicată pe dreapta
−¯s c
unui vector linie a ∈ IC 1×2 anulează primul element al lui a. Vom numi această
transformare rotaţie (complexă) ”modificată”. Este simplu de văzut că elementele
definitorii ale acestei rotaţii sunt
⎧
1, dacă a 1 = 0,
⎪⎨
0, dacă a 1 ≠ 0, a 2 = 0,
c =
⎪⎩ |a 2 |
r , dacă a 1 ≠ 0, a 2 ≠ 0,
⎧
⎪⎨
s =
⎪⎩
0, dacă a 1 = 0,
1, dacă a 1 ≠ 0, a 2 = 0,
ā 1 a 2
|a 2 |r , dacă a 1 ≠ 0, a 2 ≠ 0.
√
(6.42)
|a 1 | 2 +|a 2 | 2 . Calculul elementelor definitorii pentru rotaţia de mai sus
unde r =
va fi însoţit de calculul a ← d = aZ 12 , astfel încât sintaxa propusă pentru această
procedură este
[d,c,s] = Gcm(a)
10 Corespondentul real este procedura de triangularizare ortogonală pe care, în consens, o vom
numi TOR. Atragem atenţia că, din dorinţa de a asigura o claritate maximă, aici s-au făcut
unele rabaturi la eficienţă, cum ar fi memorarea vectorilor Householder într-o matrice distinctă.
De aceea, sintaxa şi denumirile generice folosite diferă de cele din capitolul 3. Implementările de
performanţă maximă vor trebui să respecte însă toate recomandările explicit formulate în capitolul
3.