Calculul valorilor si vectorilor proprii

402 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
5. f 2 ← f 2 c
5. Dacă opt 2 = ′ da ′ atunci
1. V(:,1 : 2) = Gcd(V(:,1 : 2),c,s)
6. % Reducerea la forma bidiagonală
Pentru k = 1 : n−1
[ ] [ ]
fk fk
1. [ ,c,s] = Gc( )
τ τ
2. α ← cg k −sf k+1
3. f k+1 ← ¯sg k +cf k+1
4. g k ← α
5. Dacă k < n−1 atunci
1. τ ← −sg k+1
2. g k+1 ← cg k+1
6. Dacă opt 1 = ′ da ′ atunci
1. U(:,k : k +1) = Gcd(U(:,k : k +1),c,s)
7. Dacă k < n−1 atunci
1. [v,c,s] = Gc(
[
gk
τ
]
)
2. g k = v 1
3. α ← f k+1 c−g k+1¯s
4. g k+1 ← f k+1 s+g k+1 c
5. f k+1 ← α
6. τ ← −f k+2¯s
7. f k+2 ← f k+2 c
8. Dacă opt 2 = ′ da ′ atunci
1. V(:,k +1 : k +2) = Gcd(V(:,k +1 : k +2),c,s)
Comentarii. Sintaxa de apel utilizată în continuare va fi în cazul complex
şi
[f,g,U,V ] = IT DVSc(f,g,U,V,opt 1 ,opt 2 )
[f,g,U,V ] = IT DVSr(f,g,U,V,opt 1 ,opt 2 )
în cazul real, care se obţine prin înlocuirea procedurilor complexe apelate cu corespondentele
lor reale şi renunţarea la operaţia de conjugare. Numărul de operaţii
necesar pentru execuţia unui pas DVS real este N op ≃ 2n √ + 30n dacă nu se
acumulează transformările, N op ′ ≃ 6mn operaţii sunt necesare pentru acumularea
matricei U şi, respectiv, N op ′′ ≃ 6n 2 pentru acumularea matricei V. ✸
Observaţia 5.6 În cadrul algoritmului DVS, iteraţia DVS curentă, implementă
de algoritmul de mai sus, va acţiona numai asupra unei părţi a matricei bidiagonale
(aşa numitul bloc diagonal ireductibil). Această acţiune are ca efect modificarea
la fiecare iteraţie numai a anumitor coloane a matricelor de transformare U şi V.