Calculul valorilor si vectorilor proprii

516 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
În cazul general, x ∗ este un punct de minim unic dacă şi numai dacă H 22 > 0. (Cum
justificaţi această afirmaţie ) În consecinţă se poate utiliza factorizarea Cholesky
H 22 = R2R T 2.
P3.56 Se aplică algoritmul de triangularizare ortogonală Q T A = R. Notând
Q T B = D, Q T b = d şi utilizând partiţii adecvate, sistemul de restricţii se scrie
[ ] [ ] [ ]
R1 D1 d1
x+ y = ,
0 D 2 d 2
unde R 1 este superior triunghiulară inversabilă, iar D 2 este epică. Prin urmare, există
matricea Z ortogonală astfel încât D 2Z = [0 R 2], unde R 2 este superior triunghiulară
inversabilă. Notând
[ ]
v1
D 1Z = [S 1 S 2], y = Z ,
v 2
se obţine
[
R1
0
]
x+
[ ][ ] [ ]
S1 S 12 v1 d1
= ,
0 R 2 v 2 d 2
iar din condiţia de minim (în care v 2 este fixat) rezultă v 1 = 0. Soluţia problemei este:
⎧
[ ]
⎨
v 1 = 0, v 2 = R −1
2 d 2, ⇒ y ∗ 0
= Z
v 2
⎩
x ∗ = R −1
1 (d 1 −S 12v 2).
P3.57 Se utilizează factorizarea ortogonală CZ = [L 1 0]. Se notează x = Zu etc.
P3.58 Următoarea procedură (LINPACK [XIII, pag. 8.7]) realizează permutarea
1. Pentru k = 1 : n
1. π k ← −π k
2. Pentru k = 1 : n
1. j = k
1. C^at timp π j < 0
1. π j ← −π j
2. Dacă j ≠ k atunci
1. x j ↔ x πj
2. j ← π j
Cap. 4. Calculul valorilor şi vectorilor proprii
P4.1 Spectrele celor două matrice sunt aceleaşi λ(A) = λ(B) = {2,2,4}. Matricea A
este diagonalizabilă dar B nu.
P4.2 Nu. Dacă x ∈ IR n , x ≠ 0, şi γ = α+iβ, α,β ∈ IR, β ≠ 0, atunci γx ∉ IR n .
P4.3 Implicaţia ”A, B diagonalizabile ⇒ C diagonalizabilă” este evidentă. Reciproc,
dacă C este diagonalizabilă, fie X C ∈ IC (m+n)×(m+n) o matrice nesingulară de vectori
proprii [ ai ] matricei C. Avem CX C = X CΛ, cu Λ diagonală. Considerând partiţia X C =
XA
= , (cu dimensiunile blocurilor, evidente) avem AX
X A = X AΛ. În continuare,
B
rangX A = m (în caz contrar, X C nu ar fi nesingulară) şi, prin urmare, X A are m coloane
liniar independente, care sunt vectori proprii ai matricei A. Deci, A este diagonalizabilă.
Similar se arată că şi matricea B este diagonalizabilă.
P4.4 În cazul general, răspunsul la întrebare este negativ. Într-adevăr, e.g. dacă
A 1 = A 2 = λ ∈ IC şi A 12 ≠ 0 matricea A nu este diagonalizabilă. Există şi situaţii în