Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 455
6.3 Algoritmul QZ
Algoritmul QZ, elaborat de C.B. Moler şi G.W. Stewart în anul 1973 [44], este, în
esenţă,oprocedurădedeflaţieiterativăcareconstruieşte(recurent)unşirdeperechi
de matrice unitar echivalente cu perechea iniţială, şir care, în condiţii precizate, este
convergent către forma Schur generalizată. În cazul real se poate impune exclusiv o
aritmetică reală pe baza unei strategii a paşilor dubli. În această situaţie termenii
şirului sunt perechi ortogonal echivalente, iar limita sa este o formă Schur reală
generalizată a perechii iniţiale.
Algoritmul QZ este organizat, ca şi algoritmul QR, în două faze:
a) Faza a I-a, de reducere, prin calcul direct, a perechii (A,B) iniţiale la o
pereche unitar echivalentă (H,T) având matricea H în formă superior Hessenberg
şimatriceaT înformăsuperiortriunghiulară,structuraceamaiapropiatădeFSGce
poatefiobţinutăprintr-uncalculfinit. Vomnumiperechea(H,T)formă Hessenberg
generalizată a lui (A,B).
b) Faza a II-a, de deflaţie iterativă, prin care elementele subdiagonale ale
matricei superior Hessenberg H sunt anulate asimptotic (simultan cu conservarea
structurii superior triunghiulare a matricei T), utilizând transformări unitare de
echivalenţă.
Într-o caracterizaresintetică, algoritmul QZ aplicat perechii (A,B) (cu B nesingulară)
poate fi considerat drept o variantă ”mascată” a algoritmului QR aplicat
matricei AB −1 şi de aici rezultă remarcabilele sale performanţe numerice şi de
convergenţă.
6.3.1 Reducerea la forma Hessenberg generalizată
Corespondentul generalizat al teoremei 4.8 are următoarea formulare.
Teorema 6.4 Oricare ar fi perechea (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n , ce defineşte un fascicol
regulat, există matricele unitare Q,Z ∈ IC n×n , calculabile printr-o secvenţă finită de
operaţii aritmetice, astfel încât perechea
(H,T) = (Q H AZ,Q H BZ) (6.30)
are matricea H superior Hessenberg şi matricea T superior triunghiulară. Dacă
matricele A, B sunt reale, atunci şi matricele H şi T sunt reale, iar matricele de
transformare Q şi Z sunt ortogonale.
Demonstraţie. Vom da o demonstraţie constructivă explicită în vederea elaborării
unui algoritm performant. În primul rând, există o matrice unitară Q ∈ ICn×n astfel
încât matricea B ← T = Q H B este superior triunghiulară (vezi capitolul 3), i.e.
perechea unitar echivalentă
(A,B) ← (Ã,T) = (QH AZ,Q H BZ),
cu Z = I n , are matricea à densă şi T superior triunghiulară. În continuare vom
aduce matricea A la forma superior Hessenberg păstrând structura superior triunghiulară
a matricei B. Procedura are n−2 paşi.