Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 251
B. Strategia paşilor dubli
În cazul matricelorrealese poate impune utilizarea exclusivăaunei aritmetici reale.
Dacă matricea are şi valori proprii complex conjugate alegerearecomandatămai sus
pentru deplasarea µ k nu mai poate asigura convergenţa procesului de evidenţiere a
valorilor proprii. Aşa cum s-a văzut în demonstraţia lemei 4.3, pentru evidenţierea
unui bloc 2×2 alformei Schurreale, deflaţia se face cu ajutorulunei baze ortogonale
(reale) a subspaţiului A-invariantgenerat de parteareală şi cea imaginarăaperechii
devectoripropriiasociaţi. Aceastaaconduslaideeacomasăriiadoipaşiconsecutivi
QR într-unul singur 20 şi a utilizării unei perechi de deplasări complex conjugate
care, în pasul dublu, apar în combinaţii reale.
Concret, fie H ∈ IR n×n o matrice superior Hessenberg şi doi paşi consecutivi
QR cu deplasare explicită
{
Hk −µ k I n = Q k R k
H k+1 = R k Q k +µ k I n
,
{
Hk+1 −µ k+1 I n = Q k+1 R k+1
H k+2 = R k+1 Q k+1 +µ k+1 I n
, (4.130)
care pot fi contraşi în transformarea directă H k −→ H k+2 , numită pas dublu QR.
Într-adevăr, pasul k produce matricea H k+1 = Q H k H kQ k astfel încât factorizarea
QR din cadrul pasului k + 1 poate fi scrisă sub forma Q H k H kQ k − µ k+1 I n =
= Q k+1 R k+1 . Înmulţind această relaţie la stânga cu Q k, la dreapta cu R k şi utilizând
factorizareaQR din cadrulpasului k, rezultă căun pasdublu QReste descris
de { (Hk −µ k I n )(H k −µ k+1 I n ) = Q k Q k+1 R k+1 R k
, (4.131)
H k+2 = (Q k Q k+1 ) T H k Q k Q k+1
şi implică efectuarea următoarelor calcule:
1. SecalculeazămatriceaM def
= H 2 k −s kH k +p k I n ,undes k = µ k +µ k+1
şi p k = µ k µ k+1 .
2. Se calculează factorizarea QR a matricei M, i.e. M = ˘Q˘R, unde
˘Q = Q k Q k+1 şi ˘R = Rk R k+1 .
3. H k+2 = ˘Q T H k ˘Q.
Deplasările µ k şi µ k+1 se aleg, în concordanţă cu cele discutate mai sus, egale cu
valorile proprii ale blocului 2×2 din colţul din dreapta jos al matricei H k :
[
(k) h n−1,n−1 h (k) ]
n−1,n
H k (n−1 : n, n−1 : n) =
. (4.132)
h (k)
n,n−1
h (k)
n,n
Important este faptul că, în schema de calcul aferentă unui pas dublu QR, cele
două valori proprii apar sub formă de sumă şi produs:
⎧
⎨
⎩
s k = µ k +µ k+1 = h (k)
n−1,n−1 +h(k) n,n
p k = µ k µ k+1 = h (k)
n−1,n−1 h(k) n,n −h (k)
n−1,n h(k) n,n−1
, (4.133)
20 Se poate imagina şi o comasare a mai mulţi paşi QR în cadrul unei strategii a paşilor
”multipli”. O astfel de soluţie este utilizată în LAPACK [XV] pentru procedurile bloc de calcul
al valorilor proprii.