Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 353
subspaţiului A-invariant U asociat setului λ I vom înţelege variaţia unghiulară (sau
o margine superioară a acesteia) a subspaţiului U raportată la nivelul perturbaţiilor
în elementele matricei A.
Condiţionarea subspaţiilor invariante este determinată în mod decisiv de localizarea
valorilor proprii asociate. Este însă posibil ca un subspaţiu generat de
vectori proprii rău condiţionaţi să aibă o condiţionare foarte bună dacă grupul
corespunzător de valori proprii este bine separat de restul valorilor proprii.
Pentru a aborda constructiv această problemă introducem câteva noţiuni noi.
Vom defini mai întâi separarea dintre spectrele a două matrice A ∈ IC m×m şi B ∈
∈ IC n×n . În acest scop, fie aplicaţia liniară L : ICm×n → IC m×n definită de L(X) =
= AX−XB. Distanţa (sau separarea) dintre spectrelematricelorAşi B se măsoară
prin scalarul
sep(A,B) def ‖L(X)‖ F
= min
X≠0 ‖X‖ F
‖AX −XB‖ F
= min . (4.354)
X≠0 ‖X‖ F
Întrucât cadrul propus al lucrării nu ne oferă mijloacele necesare prezentării pe larg
a proprietăţilor parametruluide separaresep 59 , vom sugerasemnificaţia sa printr-o
particularizare. Fie B = µ ∈ IC o matrice 1×1 şi A o matrice normală, i.e. unitar
diagonalizabilă (v. teorema 4.1). Atunci, Q H AQ = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ m ) cu Q
o matrice unitară. Avem
‖(A−µI n )x‖ F
sep(A,B) = min
x≠0 ‖x‖ F
= min
‖x‖=1 ‖(A−µI n)x‖ =
= min
‖z‖=1 ‖(Λ−µI n)z‖ = min
i=1:m |λ i −µ|,
i.e. sep(A,B) este efectiv o distanţă dintre µ şi spectrul matricei A. În acest
context, dacă B este o matrice de ordinul n şi λ(B) = {µ 1 ,µ 2 ,...,µ n } definim
distanţa absolută dintre spectrele matricelor A şi B prin
gap(A,B) def
= min
i=1:m
j=1:n
lui dintre doi vectori (sau două subspaţii unidimensionale) este
θ(U,V) = arccosσ min (U H V),
|λ i −µ j | (4.355)
unde σ min (·) este valoarea singulară minimă (v. cap. 5) a matricei argument, U este o matrice
ale cărei coloane formează o bază ortogonală a subspaţiului U şi V este o matrice ale cărei coloane
formează o bază ortogonală a subspaţiului V. O astfel de abordare permite introducerea conceptului
de distanţă dintre subspaţii liniare prin dist(U,V) = √ 1−σ 2 min (UH V) = sinθ(U,V), concept
util unei tratări cantitative a condiţionării subspaţiilor invariante. Pentru detalii recomandăm
consultarea referinţei [VI].
59 O exprimare posibilă a separării matricelor A şi B, care permite calculul ei cel puţin în
principiu, este
sep(A,B) = σ min (I n ⊗A−B T ⊗I m),
unde σ min (·) este valoarea singulară minimă (v. cap. 5) a matricei argument, iar Z = X ⊗Y este
produsul Kronecker al matricelor X şi Y, i.e. matricea bloc [Z ij ] = [x ij Y].