Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 371
Demonstraţie. Dacă A = 0, atunci (5.3)-(5.5) sunt satisfăcute de r = 0, U = I m ,
V = I n , Σ = 0. Dacă A ≠ 0, atunci ‖A‖ 2 ≠ 0 şi, folosind tehnica inducţiei finite,
vom obţine matricea cu structura din (5.3) în r paşi.
Pasul 1 ◦ . Conformdefiniţieinormeispectraleexistăunvectordenormăeuclidiană
unitară v 1 ∈ IC n , pentru care ‖A‖ 2 = max ‖x‖2=1‖Ax‖ 2 = ‖Av 1 ‖ 2 şi fie u 1 ∈ IC m
definit de u 1 = Av 1
‖A‖ 2
având, evident, ‖u 1 ‖ 2 = 1. Fie, acum, Û 1 ∈ IC m×(m−1) şi
ˆV 1 ∈ IC n×(n−1) completări ale vectorilor u 1 şi v 1 până la matrice unitare 3 , i.e. astfel
încât matricele U 1 = [ u 1 Û 1
]
, V1 = [ v 1
ˆV1
]
să fie unitare. Atunci
[
Σ (1) def u
= U1 H AV H
1 = 1 Av 1 u H 1 AˆV ] [ ]
1 σ1 w
Û1 HAv 1 Û1 HAˆV =
H
,
1 0 B 1
întrucât ÛH 1 Av 1 = ÛH 1 u 1‖A‖ 2 = 0 şi unde am utilizat notaţiile evidente
σ 1
def
= u H 1 Av 1 = ‖A‖ 2 (5.7)
şi w H def
= u H 1 AˆV def
1 , B 1 = ÛH 1 AˆV 1 . În continuare, întrucât transformările unitare
conservă norma spectrală, avem ‖Σ (1) ‖ 2 = ‖A‖ 2 = σ 1 şi
[ ]∥ σ1 ∥∥∥
2
[ ]∥ ∥ Σ(1) =
σ
2
1 +w H w ∥∥∥
2
w ∥ = (σ 2
B 1 w
1 +w H w) 2 +‖B 1 w‖ 2 2 ≥ (σ1 2 +‖w‖ 2 2) 2 .
2
Pe de altă parte, datorită consistenţei normei spectrale, avem
[ ]∥ σ1 ∥∥∥
2
[ ]∥ ∥ Σ(1) ≤ ‖Σ
w
(1) ‖ 2 σ1 ∥∥∥
2
2∥
= σ
w
1 2 (σ2 1 +‖w‖2 2 ).
2
Rezultă σ1 2 +‖w‖2 2 ≤ σ2 1 , i.e. ‖w‖ 2 = 0 sau w = 0. Deci
[ ]
Σ (1) = U1 H σ1 0
AV 1 =
0 B 1
2
2
(5.8)
şi obiectivul primului pas este atins.
Pasul k ◦ . Presupunem că în primii k−1 paşi ai procedurii de diagonalizare am
obţinut
[ ]
Σ (k−1) = U k−1···UH H (k−1) Σ
2 UH 1 AV 1V 2···V k−1 = 1 0
,
0 B k−1
unde Σ (k−1)
1 = diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ k−1 ), cu σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ k−1 > 0. Dacă B k−1 =
0, atunci r = k − 1 şi procedura este încheiată. Dacă B k−1 ≠ 0, atunci – cu
argumentele de la pasul 1 – există matricele unitare Ũk şi Ṽk astfel încât
[ ]
Ũk H σk 0
B k−1 Ṽ k = , σ
0 B k = ‖B k−1 ‖ 2 > 0. (5.9)
k
3 Pentru argumentarea existenţei acestor completări şi a modalităţilor de calcul, vezi observaţia
4.3 din capitolul 4.