Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 255
nesingulară, iar prima coloană a matricei de transformare Q k
not
= Q este
⎡
q 1 = Qe 1 = 1
r 11 ⎢
⎣
h 11 −µ
h 21
0
.
.
0
⎤
. (4.139)
⎥
⎦
Numim vectorul
w =
[ ]
h11 −µ
∈ IC 2 (4.140)
h 21
vector de deplasare implicită aferent unui pas QR.
2. Matricea unitară U 1 de la instrucţiunea 2 a schemei de calcul de mai sus
poate fi un reflector (complex) sau, şi mai simplu, datorită structurii vectorului q 1
din (4.139), o rotaţie (complexă) U 1 = P 12 , astfel calculată încât
În ambele situaţii, structura matricei U 1 este
U H 1 q 1 = ±‖q 1 ‖e 1 . (4.141)
U 1 =
[ ]
Û1 0
, (4.142)
0 I n−2
cu Û 1 ∈ IC 2×2 . Vom opta pentru utilizarea rotaţiilor, aşadar elementele definitorii
c 1 şi s 1 ale rotaţiei P 12 se obţin cu ajutorul funcţiei Gc în cazul complex, respectiv
Gr în cel real (vezi tabelul 4.3) aplicate vectorului de deplasare implicită w.
3. Datorită structurii (4.142) a matricei U 1 alterarea formei Hessenberg prin
calculul matricei B de la instrucţiunea 3 are loc numai în poziţia (3,1).
4. Matricea B având un singur element nenul ce alterează forma superior
Hessenberg, pentru asigurarea eficienţei se impune adaptarea algoritmului HQc
la această situaţie structurală. Concret, putem utiliza o transformare unitară de
asemănare definită de o secvenţă de rotaţii (complexe) care elimină elementul nenul
din afara structurii Hessenberg prin ”deplasarea”lui de-a lungul unui traseu paralel
cu diagonala principală. Schema de calcul este următoarea:
1. Pentru i = 2 : n−1
1. Se calculează rotaţia (complexă) P i,i+1 astfel încât
(Pi,i+1 H B)(i+1,i−1)= 0.
2. B ← Pi,i+1 H B. % Se anulează elementul (i+1,i−1).
3. B ← BP i,i+1 . % Pentru i < n−1 apare un element nenul
în poziţia (i+2,i).
Pentru exemplificare prezentăm evoluţia structurală a matricei B în cazul n = 5.
În diagramele structurale de mai jos zerourile nou create au fost marcate cu ∅, iar
alterările de zerouri de la transformarea curentă au fost marcate cu +. Încadrările