Calculul valorilor si vectorilor proprii

414 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
De asemenea, cum era de aşteptat, condiţionarea întregului ansamblu de valori
singulare, privită ca o normă a vectorului condiţionărilor valorilor singulare, este
cea mai bună posibilă. În sprijinul acestei afirmaţii vine şi teorema 5.13 care arată
că norma euclidiană a vectorului variaţiilor absolute ale valorilor singulare este
inferioară normei Frobenius a matricei variaţiilor elementelor matricei iniţiale.
[ ]
1.60 0.36 0.48
Exemplul 5.4 Fie matricea A =
∈ IR 2×3 ale cărei valori
−1.20 0.48 0.64
singulare exacte sunt σ 1 [ = 2 şi σ 2 = 1. Valorile ] singulare ale matricei [ perturbate ]
1.60 0.36 0.481
0 0 1
F = A+E = A+ǫG =
, unde ǫ = 10
−1.20 0.48 0.64
−3 , G =
0 0 0
(cu ‖G‖ = ‖G‖ F = 1), sunt ˆσ 1 ≈ 2.0000002, ˆσ 2 ≈ 1.0004800. Se observă că
nici variaţiile absolute ale valorilor singulare individuale, nici norma euclidiană a
vectorului lor √ (ˆσ 1 −σ 1 ) 2 +(ˆσ 2 −σ 2 ) 2 ≈ 0.48·10 −4 nu depăşesc valoarea lui ǫ. ✸
Condiţionarea excelentă a valorilor singulare este unul din argumentele fundamentale
ale utilizării lor pentru rezolvarea numerică a unei multitudini de probleme
aplicative de algebră liniară.
5.4.3 Condiţionarea vectorilor singulari
Similar cazului matricelor hermitice (v. §4.10), perfecta condiţionare a valorilor
singulare nu implică în mod necesar buna condiţionare a vectorilor singulari şi a
subspaţiilor generate de aceştia.
Fie A ∈ IC m×n şi A = U H ΣV descompunerea valorilor sale singulare. Aprecierea
condiţionării vectorilor singulari, i.e a coloanelor matricelor unitare de transformare
U şi V, se face prin evaluarea diferenţei unghiulare dintre vectorul exact şi cel
perturbat, definită prin
θ(u i ,û i ) = arccos|u H i û i |, i = 1 : m θ(v j ,ˆv j ) = arccos|v H j ˆv j |, j = 1 : n,
(5.110)
raportată la norma variaţiei matricei date.
Această abordare poate fi extinsă la exprimarea condiţionării subspaţiilor generate
de vectori singulari care este apreciată prin variaţia unghiulară (v. §4.10)
a subspaţiilor respective. Concret, fiind dată o matrice A şi σ I ⊂ σ(A) un set de
valori singulare ale acesteia, prin condiţionarea subspaţiului U, generat de vectorii
singulari asociaţi setului λ I , vom înţelege variaţia unghiulară (sau o margine superioară
a acesteia) a subspaţiului U raportată la nivelul perturbaţiilor în elementele
matricei A.
Condiţionarea subspaţiilor generate de vectori singulari este determinată în
mod decisiv de localizarea valorilor singulare asociate. Este posibil, şi aici, ca un
subspaţiu generat de vectori singulari rău condiţionaţi să aibă o condiţionare foarte
bună dacă grupul corespunzător de valori singulare este bine separat de celelalte.
În contextul DVS, vom nota separarea unei valori singulare individuale σ i şi,
respectiv a setului de valori singulare σ I , de celelalte valori singulare ale aceleiaşi