Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 245
i.e. H k+1 şi H k sunt unitar asemenea şi au acelaşi spectru. Aplicând (4.112) în
mod repetat obţinem
H k = Q H k−1 QH k−2···QH 1 H 1Q 1···Q k−2 Q k−1 = ˜Q H k H ˜Q k , (4.113)
unde
˜Q k = Q 1 Q 2···Q k−1 (4.114)
este o matrice unitară (ca produs de matrice unitare). Prin urmare, toate matricele
din şirul QR sunt unitar asemenea şi, în consecinţă, au acelaşi spectru. Transformarea
unitară cumulată (4.114) poate fi construită recurent cu relaţia
˜Q k+1 = ˜Q k Q k , k = 1,2,···, ˜Q1 = I n . (4.115)
Propoziţia este demonstrată.
✸
În continuare, vom arăta că, prin alegerea adecvată a deplasărilor µ k , k =
= 1,2,..., înafaraunorsituaţiipatologice(veziexemplul4.4), şirulQResteconvergent
către forma Schur (reală). Mai precis, vom arăta că, în primul rând, elementul
extradiagonal al ultimei linii a matricei H k se anulează asimptotic pentru k → ∞.
Mai mult, generic, toate elementele subdiagonale, cu viteze diferite, au tendinţa de
anulare. Argumentele sunt următoarele.
(i) Cu o alegere adecvată a deplasărilor µ k , şirul QR implementează, într-o
formă implicită, o versiune a metodei puterii inverse cu deplasare Rayleigh şi, în
consecinţă, asigură o convergenţă pătratică a ultimei coloane a matricei de transformare
cumulate ˜Q k către un vector propriu al matricei H H ceea ce are ca efect
anularea asimptotică a elementului H k (n,n−1).
Pentru a justifica această afirmaţie observăm mai întâi faptul că din relaţiile
(4.111), (4.113) şi (4.115) rezultă
R k = Q H k (˜Q H k H ˜Q k −µ k I n ) = Q H k ˜Q H k (H−µ kI n )˜Q k = ˜Q H k+1 (H−µ kI n )˜Q k , (4.116)
de unde
R k ˜QH k = ˜Q H k+1 (H −µ kI n ). (4.117)
Putem scrie acum dependenţa dintre ultimele coloane ˜q n
(k+1) şi ˜q n (k) ale matricelor
˜Q k+1 şi, respectiv, ˜Q k . Într-adevăr, prin transpunerea şi conjugarea relaţiei (4.117)
se obţine
˜Q k Rk H = (H H − ¯µ k I n )˜Q k+1 , (4.118)
este inferior triunghiulară, ega-
unde ¯µ k este conjugata deplasării µ k . Întrucât RH k
litatea ultimelor coloane din (4.118) conduce la
¯r (k)
nn˜q(k) n = (HH − ¯µ k I n )˜q (k+1)
n (4.119)
sau, dacă µ k ∉ λ(H),
˜q (k+1)
n
= ¯r (k)
nn(H H − ¯µ k I n )
−1˜q
(k)
n , (4.120)