Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.9. METODE ALTERNATIVE 329
egalităţile din dreapta scriindu-se compact în forma
[ ][ ] [ ] [ ][ ]
A −B u u A −B −v
= λ sau
B A v v B A u
[ ]
u
Vectorii şi
v
[
−v
u
[
−v
= λ
u
]
, fiind ortogonali, sunt liniar independenţi.
]
. (4.296)
În consecinţă,
[ ]
dacă λ(C) = {λ 1 ,λ 2 ,...,λ n }, atunci matricea simetrică reală F def A −B
=
B A
are spectrul λ(F) = {λ 1 ,λ 1 ,λ 2 ,λ 2 ,...,λ n ,λ n }, iar dacă w ∈ IR 2n este un vector
propriu al matricei F asociat valorii proprii λ k , atunci x = w(1 : n)+iw(n+1 : 2n)
sau y = −w(n+1 : 2n)+iw(1 : n) este un vector propriu 51 al matricei C asociat
aceleiaşi valori proprii.
Din cele de mai sus rezultă esenţa calculatorie a primei abordări care constă în
aplicarea algoritmului QR simetric matricei F. Utilizarea exclusivă a aritmeticii
reale face această soluţie deosebit de atractivă. Scrierea algoritmului este imediată
şi este lăsată în sarcina cititorului.
II. Cea de a doua modalitate de calcul al valorilor proprii ale unei matrice hermitice
utilizată în practica numerică (de exemplu, în LAPACK [XV]) utilizează
o aritmetică în numere complexe numai în faza directă a algoritmului QR, i.e.
în faza de reducere la forma tridiagonală. Este posibil ca matricea tridiagonală
rezultată să fie reală astfel încât faza iterativă apelează exclusiv la o aritmetică
reală, procedurile utilizate în faza iterativă fiind cele descrise în această secţiune.
Posibilitatea obţinerii, prin transformări unitare de asemănare a unei matrice tridiagonale
reale este condiţionată de utilizarea unor reflectori complecşi nehermitici
(v. cap. 3). Într-adevăr, dat un vector complex x ∈ ICn se poate calcula un astfel
de reflector Ũ1 ∈ IC n×n care să asigure ŨH 1 x = ρe 1 cu ρ un număr real. Notând
cu U k
def
=
[
Ik−1 0
0 Ũ 1
]
, unde Ũ1 ∈ IC (n−k+1)×(n−k+1) este un reflector de tipul
menţionat, dacă U 2 este astfel calculat încât (U2 H C)(3 : n,1) = 0, atunci matricea
C ← C 1 = U2 H CU 2 este hermitică şi tridiagonală în prima linie şi prima
coloană. Cum o matrice hermitică are elementele diagonale reale, rezultă că blocul
C 1 (1 : 2,1 : 2) este real. Continuând acest proces, în final matricea
C ← C n−2 = U H n−1...U H 3 U H 2 CU 2 U 3 ...U n−1 (4.297)
va fi tridiagonală, simetrică şi reală. Scrierea efectivă a algoritmului face obiectul
exerciţiului 4.58.
4.9 Alte metode de calcul al valorilor proprii
pentru matrice simetrice
Algoritmul QR simetric rămâne un instrument fundamental pentru calculul întregului
spectru al unei matrice simetrice. Totuşi, spre deosebire de cazul general,
51 De observat că y = ix, i.e. vectorii x şi y sunt coliniari în IC n .