Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 385
√
κ F (A) def
= ‖A‖ F ‖A −1 ‖ F = (σ1 2 +σ2 2 +···+σ2 n)(σ1 −2 +σ2 −2 +···+σn −2 ), (5.49)
şi, respectiv,
5.2.4 Pseudoinversa
κ 2 (A) def
= ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ 2 = σ 1
σ n
. (5.50)
În continuare vom defini într-un cadru general pseudoinversa unei matrice. Deşi,
în general, calculul explicit al pseudoinversei este evitat în aplicaţii, vom prezenta
totuşi exprimarea ei cu ajutorul DVS, exprimare care oferă calea cea mai avantajoasă
pentru un eventual calcul al acesteia.
Definiţia 5.4 Fie A ∈ IC m×n . O matrice X ∈ IC n×m care satisface următoarele
patru condiţii Moore-Penrose 14 ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
AXA = A
XAX = X
(AX) H = AX
(XA) H = XA
(5.51)
se numeşte pseudoinversa matricei A.
Avem următoarea teoremă de existenţă şi unicitate.
Teorema 5.6 Orice matrice A ∈ IC m×n admite o pseudoinversă unică. Dacă A =
= UΣV H este DVS a matricei A, atunci pseudoinversa sa este
unde
Σ + =
este pseudoinversa matricei Σ.
A + = VΣ + U H , (5.52)
[
Σ
−1
1 0
0 0
]
∈ IR n×m (5.53)
Demonstraţie. Existenţa psedoinversei se demonstrează arătând mai întâi că
(5.53) satisface cele patru condiţii din (5.51) şi apoi că acestea sunt satisfăcute şi de
către matricea A + definită în (5.52) (exerciţiu pentru cititor). Pentru demonstraţia
unicităţii, fie X,Y ∈ IC n×m două pseudoinverse ale matricei A şi D = X −Y. Din
(5.51) rezultă ⎧⎪ ADA = 0, ⎨
DAD +DAY +YAD = D,
⎪ (AD) H = AD, ⎩
(DA) H = DA.
14 Cele patru condiţii Moore-Penrose sunt echivalente cu următoarele trei (vezi [II])
{ AXA = A
X = PA H = A H R
unde P şiRsunt două matrice oarecare. Ultimeledouă condiţiiexprimăfaptul că liniileşi coloanele
pseudoinversei sunt combinaţii liniare ale liniilor, respectiv ale coloanelor matricei A H .