Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.8. PROBLEME 441
Dar ale matricei C = A+iB
P 5.2 Scrieţi formulele explicite pentru calculul DVS a unei matricei A ∈ IR 2×2 . Aceeaşi
problemă pentru o matrice complexă 2×2.
P 5.3 Fie A ∈ IC m×n . a) Demonstraţi că matricele Ā, A T şi A H , unde Ā este conjugata
matricei A, au aceleaşi valori singulare cu A. b) Dacă P ∈ IC m×m şi Q ∈ IC n×n sunt matrice
unitare, atunci matricea B = PAQ are aceleaşi valori singulare cu matricea A. c) Arătaţi
că matricea αA, unde α ∈ IC, are valorile singulare |α|σ i(A).
[ ]
0 A
P 5.4 Fie A ∈ IC m×n H
, cu m ≥ n, şi matricea B = ∈ IC (m+n)×(m+n) .
A 0
Exprimaţi vectorii proprii ai matricei B în funcţie de vectorii singulari ai matricei A.
P 5.5 Se consideră date matricele reale [ A,B ∈ IR m×n ] . Fie matricea complexă C =
A −B
= A + iB ∈ IC m×n şi matricea reală D = ∈ IR 2m×2n . Stabiliţi relaţiile de
B A
legătură dintre DVS ale matricelor C şi D.
P 5.6 a) Fie A ∈ IC n×n o matrice normală, i.e. care satisface condiţia A H A = AA H (v.
cap.4), (în particular hermitică, iar în cazul real, simetrică) şi λ(A) = {λ 1,λ 2,...,λ n}, cu
|λ 1| ≥ |λ 2| ≥ ... ≥ |λ n|. Arătaţi căvalorile singulare ale matricei Asuntσ i = |λ i|, i = 1:n.
[ ] 6 3 1
b) Care sunt valorile proprii şi valorile singulare ale matricei A = 1 3 3
3 −1 3
P 5.7 Care sunt valorile singulare ale unei matrice n×n unitare (ortogonale)
P 5.8 Fie V ∈ IC m×k o matrice având coloanele ortogonale şi P = VV H proiectorul
ortogonal pe ImV.
a) Arătaţi că matricea Q = I −2P este unitară.
b) Care sunt valorile singulare ale unui proiector ortogonal
P 5.9 Arătaţi că dacă A ∈ IC m×n , atunci ‖A‖ 2 ≤ ‖A‖ F ≤ √ rangA‖A‖ 2.
P 5.10 Demonstraţi că dacă Q ∈ IC m×n este o matrice cu coloanele ortogonale, i.e.
Q H Q = I n, şi P este o matrice obţinută din Q prin eliminarea a cel mult n − 1 linii
(oricare), atunci ‖P‖ 2 = 1.
P 5.11 Arătaţi că dacă A ∈ IC m×n are rangul n, atunci ‖A(A H A) −1 A H ‖ 2 = 1.
P 5.12 Demonstraţi că dacă σ 1 este cea mai mare valoare singulară a matricei A, atunci
σ 1 =
y T Ax
max .
y ∈ IR m \{0} ‖y‖ 2‖x‖ 2
x ∈ IR n \{0}
P 5.13 a) Fie vectorii u ∈ IC m , v ∈ IC n şi matricea A = uv H . Care este DVS a matricei
A Care este rangul lui A b) Arătaţi că orice matrice A ∈ IC m×n de rang 1 poate fi
scrisă sub forma A = uv H , unde u ∈ IC m , v ∈ IC n .
P 5.14 Elaboraţi un algoritm pentru calculul DVS a matricei A = I n + uv T , unde
u,v ∈ IR n sunt doi vectori necoliniari.