Calculul valorilor si vectorilor proprii

350 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Demonstraţie. Pentru orice matrice de vectori proprii V ∈ V A avem
κ 2 (V) = ‖V‖·‖V −1 ‖ ≥ ‖VV −1 ‖ = 1.
Prin urmare şi κ (2)
Λ
(A) ≥ 1. Dacă matricea A este normală, atunci este unitar
diagonalizabilă, respectiv vectorii proprii sunt ortogonali, i.e. κ 2 (V) = 1 pentru
toţi V ∈ V A . Rezultă κ (2)
Λ
(A) = 1.
✸
Prin urmare spectrele matricelor normale sunt perfect condiţionate.
O altă problemă foarte importantă este legată de existenţa mijloacelor de îmbunătăţire
şi de conservare a condiţionării numerice a spectrului de valori proprii
ale unei matrice date. Întrucât spectrul însuşi trebuie conservat, aceste mijloace se
referălaexistenţaunortransformărideasemănareastfelîncâtmatriceaà = TAT−1
să aibă κ Λ (Ã) ≤ κ Λ(A). În acest sens avem următorul rezultat.
Propoziţia 4.5 Transformările unitare (în cazul real, ortogonale) de asemănare
conservă numărul de condiţionare κ (2)
Λ
(A) al spectrului unei matrice.
Demonstraţie. Conservarea numărului de condiţionare este urmare directă a
conservării normei euclidiene la transformări unitare. Într-adevăr, fie à = UAUH
unde U ∈ IC n×n este unitară, i.e. U H U = UU H = I n . Atunci, dacă V este o matrice
arbitrarădevectoripropriiliniarindependenţiaimatriceiA, Ṽ = UV esteomatrice
(nesingulară) de vectori proprii a matricei Ã. Prin urmare, κ 2 (Ṽ) = ‖Ṽ‖·‖Ṽ −1 ‖ =
= ‖UV‖·‖V −1 U H ‖ = κ 2 (V) de unde rezultă şi conservarea numărului de condiţionare
min V ∈VA κ 2 (V), q.e.d.
✸
Implicaţiile importante ale propoziţiei de mai sus constau în utilizarea, practic
exclusivă, a transformărilor unitare (ortogonale) de asemănare în toţi algoritmii
de calcul al valorilor proprii (vezi secţiunile precedente). De asemenea, rezultă
că o eventuală ameliorare a condiţionării spectrului de valori al unei matrice nu
este posibilă decât prin recurgerea la transformări de asemănare neunitare, care să
realizeze o ”apropiere” a matricei iniţiale de o matrice normală. Întrucât o matrice
normală este caracterizată, printre altele, de faptul că este perfect echilibrată, i.e.
are normele euclidiene ale liniilor şi coloanelorde acelaşi indice egale, procedurile de
ameliorare a condiţionării spectrului unei matrice urmăresc o echilibrare a acesteia,
aşa cum s-a prezentat în detaliu în secţiunea 4.4.
B. Condiţionarea vectorilor proprii şi a subspaţiilor invariante
La fel ca şi în cazul valorilor proprii, din motive de simplitate, ne vom mărgini la
analiza condiţionării vectorilor proprii asociaţi valorilor proprii simple. De asemenea,
precizăm de la început că subspaţiile invariante generate de vectori proprii rău
condiţionaţipotaveaocondiţionaremult maibună. Acestaşiesteunuldin motivele
principale pentru care în practica numerică nu se recomandă, în general, calculul
explicit al vectorilor proprii, subspaţiile invariante de interes putând fi generate
mult mai fiabil, de exemplu, de vectorii Schur.
Fie matricea A ∈ IC n×n cu valorile proprii distincte λ k şi vectorii proprii asociaţi,
de normă euclidiană unitară, x k , k = 1 : n. Considerăm matricea perturbată