Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 241
4.4.1 Reducerea la forma superior Hessenberg
Este binecunoscută teorema conform căreia rezolvarea ecuaţiilor algebrice generale
de grad superior lui patru nu este posibilă printr-o secvenţă finită de operaţii aritmetice
(inclusiv extrageri de radical). Întrucât calculul valorilor proprii este echivalent
cu rezolvarea ecuaţiei caracteristice, deducem că nu există un algoritm direct
care să reducă o matrice dată, de ordin superior lui patru, la o formă mai
”apropiată” de forma Schur decât forma Hessenberg şi care, în acelaşi timp, să
conserve valorile proprii.
Posibilitatea reducerii unei matrice A ∈ IC n×n la forma superior Hessenberg, cu
conservarea valorilor proprii, este dată de următorul rezultat.
Teorema 4.14 Oricare ar fi matricea A ∈ IC n×n , există o matrice unitară Q ∈
∈ IC n×n , calculabilă printr-o secvenţă finită de operaţii aritmetice, astfel încât matricea
H = Q H AQ (4.103)
este superior Hessenberg.
În cazul real matricele H şi Q sunt reale, i.e. matricea Q este ortogonală.
Demonstraţie. Vom da o demonstraţie constructivă bazată pe următoareaschemă
de calcul
HQ 1. Pentru k = 1 : n−2
1. Se calculează un reflector elementar (complex) U k+1
astfel încât (Uk+1 H A)(k +2 : n,k) = 0.
2. A ← Uk+1 H A
3. A ← AU k+1
care suprascrie matricea A cu matricea
Notând
A ← H = U H n−1···UH 3 UH 2 AU 2U 3···U n−1 . (4.104)
Q = U 2 U 3···U n−1 (4.105)
avem Q H = U n−1···UH H 3 UH 2 şi, în consecinţă, (4.104) poate fi scrisă în forma
(4.103). Rămâne de arătat că schema de calcul de mai sus creazăefectiv o structură
superior Hessenberg. Vom aplica un procedeu bazat pe inducţie finită.
Pasul 1 ◦ . Există un reflector elementar (complex) U 2 de ordinul n astfel încât
(U2 H A)(3:n,1) = 0 (vezi cap. 3), care realizează structura superior Hessenberg în
prima coloană. Matricea U 2 are structura
[ ] 1 0
U 2 = . (4.106)
0 Ũ 2
Prinurmare, postmultiplicareamatriceiU H 2 A cu U 2 nu modifică prima coloanăa lui
U H 2 A, i.e. zerourile create în prima coloană a lui U H 2 A sunt conservate în U H 2 AU 2 .