Calculul valorilor si vectorilor proprii

432 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
i.e. rezolvarea problemei (5.155), (5.162), revine la a rezolva problema echivalentă
de calcul a (pseudo)soluţiei y ∗ ∈ Y = W −1 X (dacă există) astfel încât
‖r ∗ ‖ = ‖Cy ∗ −˜b‖ = min
y ∈ Y ‖Cy −˜b‖. (5.167)
Fie, acum, r A = rangA, r B = rangB ceea ce, având în vedere ordonarea din
(5.164), înseamnă
Rezultă
şi, respectiv,
c rA+1 = c rA+2 = ... = c n = 0, s 1 = s 2 = ... = s n−rB = 0. (5.168)
φ(y) def
= ‖r‖ 2 = ‖Cy −˜b‖ 2 =
ψ(y) def
= ‖Sy − ˜d‖
n−r
∑ B
2 = |˜d i | 2 +
i=1
r A
∑
i=1
n∑
i=n−r B+1
|c i y i −˜b i | 2 +
|s i y i − ˜d i | 2 +
m∑
i=r A+1
p∑
i=n+1
|˜b i | 2 (5.169)
|˜d i | 2 ≤ γ 2 . (5.170)
O condiţie evidentă ca mulţimea Y să nu fie vidă, i.e. o condiţie necesară de
existenţă a soluţiei problemei (5.167), este
n−r
∑ B
i=1
|˜d i | 2 +
p∑
i=n+1
|˜d i | 2 ≤ γ 2 . (5.171)
Având în vedere că funcţia (5.169), care trebuie minimizată, este mărginită pe
compactul Y, definit de (5.170), condiţia (5.171) este şi suficientă pentru existenţa
soluţiei problemei CMMP (5.167) cu restricţii pătratice.
Ideea rezolvării problemei (5.167) este reducerea acesteia la o problema cu restricţii
de tip egalitate, pentru care se pot aplica tehnici clasice de minimizare.
1. Considerăm, mai întâi, cazul particular în care în (5.171) avem egalitate în
locul inegalităţii 31 . Rezultă, în mod necesar, pentru satisfacerea restricţiei,
y i = ˜d i
c i
, i = n−r B +1 : n. (5.172)
Întrucât, condiţia c 2 i + s2 i = 1, i = 1 : n implică r A + r B ≥ n, i.e. r A ≥ n − r B ,
rezultă că putem calcula componentele y i , i = 1 : n−r B astfel încât φ(y) = ‖r‖ 2
să fie minimă. Obţinem
y i = ˜b i
s i
, i = 1 : n−r B . (5.173)
31 În cazul în care matricea B, vectorul d şi scalarul γ sunt stabilite din alte considerente
decât cele de asigurare a existenţei soluţiei problemei, este puţin probabil ca în (5.171) să cădem
peste situaţia de egalitate. Totuşi, în situaţia în care nu există soluţii, un compromis posibil este
creşterea scalarului γ până la atingerea egalităţii din (5.171).