Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 425
[ (A(i,:))
T
normei ‖ · ‖ D ) de la punctele z =
b(i)
apropiate ale lui P x ∗ (vezi (5.136)) este minimă.
]
∈ IR n+1 la punctele cele mai
✸
A treia treaptă de generalizare o introducem considerând un membru drept
multiplu, i.e. formulând problema CMMPT pentru sistemul liniar matriceal AX =
= B cu B ∈ IC m×p , respectiv problema de minimizare
‖CG ∗ D‖ = min
(B +R) ⊆ Im(A+E) ‖CGD‖ F, E ∈ IC m×n , R ∈ IC m×p , G = [E R],
(5.137)
unde matricele A ∈ IC m×n , B ∈ IC m×p , cu m ≥ n+p, precum şi matricele diagonale
nesingulare C ∈ IC m×m şi D ∈ IC (n+p)×(n+p) sunt date. La fel ca şi până acum,
dacă (E ∗ ,R ∗ ) este o soluţie a problemei de minimizare (5.137), atunci orice matrice
X ∗ ∈ IC n×p care satisface sistemul liniar matriceal (A+E ∗ )X = B+R ∗ va fi numită
(pseudo)soluţia, în sens CMMPT, a sistemului AX = B.
Pentru a formula mai concis rezultatul referitor la existenţa şi unicitatea soluţiei
problemelor de minimizare ce definesc CMMPT, vom introduce unele notaţii şi vom
stabili un rezultat preliminar. Fie
H def
= C[ A B ]D =
n p
{}}{ {}}{
[ ]
H1 H 2
(5.138)
şi H = UΣV H DVS a matricei H, cu următoarele partiţii ale matricelor U, V şi Σ
impuse de structura lui H
U =
n
p
{}}{ m−n−p
{}}{ {}}{
[ ]
U1 U 2 U 3
, V =
n p
{}}{ {}}{
[ ]
V11 V 12 }n
V 21 V 22 }p
Σ =
n
p
{}}{ {}}{
⎡
⎣ Σ ⎤
1 0
0 Σ 2
⎦ }n
}p ,
0 0 }m−n−p
Introducem următoarea lemă.
Σ 1 = diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ n )
Σ 2 = diag(σ n+1 ,σ n+2 ,...,σ n+p ). (5.139)
Lema 5.1 Dacă σ n (H 1 ) > σ n+1 , atunci
1 ◦ . Matricea V 22 din (5.139) este nesingulară.
2 ◦ . Cu notaţiile din (5.139), avem inegalitatea strictă
σ n > σ n+1 . (5.140)
Demonstraţie. 1 ◦ . Presupunem că matricea V 22 este singulară. Atunci există un
vector z ∈ IC p nenul, pe care îl putem considera de normă euclidiană [ ] unitară, astfel
def V12
încât V 22 z = 0. Mai departe, din faptul că matricea V 2 = are coloanele
V 22
ortogonale, i.e. V2 H V 2 = I p , obţinem ‖V 2 z‖ = ‖V 12 z‖ = 1. Pe de altă parte din