Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.6. CALCULUL SUBSPAŢIILOR INVARIANTE 289
1. S(k : k+1,k+2 : n) = Gcs(c,s,S(k : k+1,k+2 : n))
6. Q(:,k : k+1) = Gcd(Q(:,k : k+1),c,s)
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului de mai sus va fi
[S,Q] = P11c(S,Q,k).
Complexitatea unei permutări a două valori proprii vecine distincte este O(n),
numărul asimptotic de flopi (reali) fiind N op = 52n (independent de k). ✸
Din momentul în care dispunem de procedura de permutare a două valori proprii
învecinate, algoritmul de ordonare a formei Schur se reduce, în esenţă, la
un algoritm de sortare a unei mulţimi bazat pe interschimbarea elementelor adiacente.
Vom prezenta mai întâi cazul unei ordonări totale care dispune valorile
proprii ale unei forme Schur S a matricei A în ordinea impusă de o permutare dată
π = {i 1 ,i 2 ,...,i n } a mulţimii 1 : n, în sensul că elementul diagonal aflat iniţial
în poziţia (k,k) va fi plasat în final în poziţia (i k ,i k ). Prin actualizarea matricei
unitare de transformare Q, se calculează bazele ortogonale pentru subspaţiile A-
invariante asociate unor grupuri impuse de valori proprii. Concret, coloanele 1 : k
ale matricei actualizate, i.e. Q(:,1:k), formează o bază a subspaţiului A-invariant
V k asociat setului de valori proprii Λ k = {λ i = s ii | i = 1 : k} (în numerotarea
finală). Prezentăm un algoritm de ordonare bazat pe o procedură de sortare prin
selecţie. Invităm cititorul să elaboreze alte variante care să aibe la bază algoritmi
de sortare alternativi.
Algoritmul 4.16 (FSC ORD – Ordonarea formei Schur) (Date
o matrice S ∈ IC n×n în formă Schur, matricea unitară Q ∈ IC n×n şi permutarea
π = {i 1 ,i 2 ,...,i n }, algoritmul suprascrie matricea S cu matricea
unitar asemenea S ′ = ˜Q H S ˜Q care are s ′ i k ,i k
= s kk şi actualizează
în mod corespunzător matricea de transformare Q.)
1. Pentru k = 1 : n−1
1. mută =’nu’
2. l = k
3. Pentru j = k+1 : n
1. Dacă i j < i l atunci
1. l = j
2. mută =’da’
4. Dacă mută =’da’ atunci
1. Pentru j = (l−1) : −1 : k
1. [S,Q] = P11c(S,Q,j)
2. i j ↔ i j+1
Comentarii. Sintaxa naturală de apel a algoritmului prezentat este
[S,Q] = FSC ORD(S,Q,π).