Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 355
În particular, dacă I conţine un singur element, i.e. I = {i} numărul
κ Xi
def
= 1
sep i
(4.359)
exprimă condiţionarea vectorului propriu asociat valorii proprii λ i a matricei A.
Pentru detalii recomandăm consultarea referinţelor bibliografice [IV], [VI], [VIII].
4.10.2 Condiţionarea valorilor şi vectorilor proprii
pentru matrice hermitice
A. Condiţionarea valorilor proprii
Desigur, toate dezvoltările privitoare la condiţionarea valorilor proprii pentru matricele
nehermitice rămân valabile şi pentru matricele hermitice, iar în cazul real,
pentru matricele simetrice. Pe de altă parte matricele hermitice 61 prezintă numeroase
particularităţi interesante şi din acest punct de vedere.
În primul rând, conform teoremei 4.2, o matrice A ∈ IC n×n hermitică este unitar
diagonalizabilă şi are spectrul real, i.e. există o matrice unitară Q ∈ IC n×n astfel
încât Q H AQ = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) ∈ IR n×n . Rezultă că vectorul propriu
x i = Q(:,i), de normă euclidiană unitară, satisface simultan relaţia x H i A = λ ix H i ,
i.e. este şi vector propriu la stânga asociat aceleiaşi valori proprii. Rezultă că
numerele de condiţionare ale valorilor proprii λ i , definite de (4.331), sunt
κ λi = 1 = 1
s λi |x H i x = 1, i = 1 : n. (4.360)
i|
Prin urmare, valorile proprii ale matricelor hermitice (în cazul real, simetrice) sunt
perfect condiţionate, variaţiile (absolute) ale valorilor proprii induse de perturbaţii
în matricea iniţială nedepăşind nivelul acestor perturbaţii.
[ ] 1.000 0.900
Exemplul 4.11 Fie matricea simetrică A = ∈ IR 2×2 cu valorile
proprii exacte λ 1 = 1.9[ şi λ 2 = 0.1. Valorile ] proprii ale matricelor [ simetrice ]
1.001 0.900
1.000 0.901
0.900 1.000
perturbate F 1 = A+ǫG 1 = , F
0.900 1.001 2 = A+ǫG 2 =
[ ]
0.901 1.000
1.001 0.900
şi F 3 = A+ǫG 3 = , unde, de fiecare dată perturbaţiile sunt simetrice,
ǫ = 10 −3 şi ‖G i ‖ = 1, sunt λ(F 1 ) = {1.901,0.101}, λ(F 2 ) = {1.901,0.101},
0.900 1.000
λ(F 3 ) = {1.9005,0.1005}, în toate cazurile variaţiile absolute ale valorilor proprii
nedepăşind valoarea lui ǫ. În schimb, variaţiile relative ale valorii proprii mai mici
sunt de aproximativ 20 de ori (i.e raportul celor două valori proprii) mai mari decât
variaţiile relative ale valorii proprii mai mari.
Condiţionarea excelentă a valorilor proprii ale unei matrice simetrice se manifestă
şi la perturbaţii nesimetrice (deşi nu se mai poate garanta [ că matricele ] perturbate
au un spectru real). Astfel pentru F 4 = A+ǫG 4 = avem 1.000 0.901
0.900 1.000
λ(F 4 ) = {1.9005,0.0995}.
✸
61 Majoritatea rezultatelor sunt adevărate pentru cazul mai general al matricelor normale.