Calculul valorilor si vectorilor proprii

422 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
care este, evident, minimă pentru y ′ = Σ −1
1 d′ şi y ′′ arbitrar. Dintre toţi vectorii y
care minimizează reziduul de mai sus, cel de normă euclidiană minimă corespunde
lui y ′′ = 0. Cum ‖x‖ 2 = ‖y‖ 2 , rezultă că vectorul de normă euclidiană minimă care
minimizează reziduul ‖b−Ax‖ 2 este
x ∗ = V
[
Σ
−1
1 d′
0
]
= V
[
Σ
−1
1 0
0 0
]
d = VΣ + U H b = A + b,
ultima egalitate din (5.126)obţinându-seutilizând (5.55). Unicitatea pseudosoluţiei
normale rezultă din unicitatea pseudoinversei.
✸
Propoziţia 5.7 conduce la următorul algoritm.
Algoritmul 5.7 (CMMP – Rezolvarea problemei generale CMMP)
(Date matricea A ∈ IC m×n , vectorul b ∈ IC m şi toleranţa tol > 0, algoritmul
calculează (pseudo)soluţia x = x ∗ ∈ IC n , în sens CMMP, de normă
euclidiană minimă, a sistemului liniar Ax = b.)
1. [U,Σ,V] = DVS(A, ′ da ′ , ′ da ′ )
2. r = Rang DVS(Σ,tol)
3. x = 0
4. Pentru j = 1 : r
1. δ = (U(:,j)) H b
2. δ = δ σ j
3. x = x+δV(:,j)
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului este
x = CMMP(A,b,tol),
iar complexitatea sa este determinată de complexitatea algoritmului DVS cu acumularea
transformărilor.
Algoritmulprezentatestenumericstabil, detaliiprivindacurateţeasoluţieiproblemei
CMMP calculată mai sus putând fi găsite în [VI].
✸
5.6.3 Problema celor mai mici pătrate totală
Vom formula şi rezolva în cele ce urmează o generalizare a problemei clasice a celor
mai mici pătrate (CMMP). Pentru a da o justificare formulării acestei generalizări,
să observăm că problema CMMP, de minimizare a normei euclidiene a reziduului
r = Ax − b, unde matricea A ∈ IC m×n şi vectorul b ∈ IC n sunt date 28 , poate fi
reformulată în modul următor. Putem privi reziduul r din egalitatea Ax = b+r ca
o ”perturbare” a vectorului de date b sub restricţia ca b+r = Ax pentru un anumit
28 Toate rezultatele rămân valabile şi în cazul real. S-a preferat considerarea datelor complexe
pentru asigurarea omogenităţii tratării materialului din acest capitol.