Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 253
Teorema 4.15 Fie matricea A ∈ IC n×n şi matricele unitare U ∈ IC n×n şi V ∈ IC n×n
astfel încât matricele
H = U H AU, G = V H AV (4.135)
sunt ambele superior Hessenberg ireductibile. Dacă matricele U şi V au aceeaşi
primă coloană, i.e.
Ue 1 = Ve 1 , (4.136)
atunci
Ue j = e iθj Ve j , θ j ∈ IR, j = 2 : n, (4.137)
i.e. există o matrice diagonală unitară D = diag(1,δ 2 ,...,δ n ) cu δ j = e iθj , j = 2:n,
astfel încât
H = D H GD. (4.138)
În cazul real, i.e. A ∈ IR n×n şi matricele U ∈ IR n×n şi V ∈ IR n×n ortogonale,
condiţia (4.136) implică Ue j = ±Ve j , j = 2 : n, i.e. matricea diagonală din (4.138)
este ortogonală având δ j ∈ {−1, 1}, j = 2 : n. Dacă elementele subdiagonale
corespondente ale matricelor G şi H din (4.135) au acelaşi semn, atunci (4.136)
implică U = V, i.e transformarea este unic determinată.
Observaţia 4.6 Având în vedere obiectivele urmărite, putem afirma că, în condiţiile
teoremei 4.15, matricele H şi G sunt esenţial aceleaşi. Într-adevăr, este uşor
de constatat că |h ij | = |g ij | (în cazul real aceasta înseamnă h ij = ±g ij ) pentru toţi
i şi j şi, prin urmare, ”distanţa” (în norma Frobenius) până la forma Schur ”cea
mai apropiată” a celor două matrice poate fi considerată aceeaşi. ✸
Demonstraţia teoremei 4.15. Fie W def
= V H U şi W = [w 1 w 2 ··· w n ] partiţia sa
pe coloane. Atunci, din (4.136), rezultă w 1 = We 1 = e 1 , iar din (4.135) avem
GW = WH relaţie care, scrisă pe coloane, devine
j∑
Gw j = WH(:,j) = w k h kj +w j+1 h j+1,j , j = 1 : n−1.
k=1
Întrucât h j+1,j ≠ 0, obţinem următoarea exprimare a coloanei j +1 a matricei W
în funcţie de coloanele precedente
w j+1 = 1
h j+1,j
(Gw j −
j∑
w k h kj ),
expresie care, cu iniţializarea w 1 = e 1 , probează faptul că matricea W este superior
triunghiulară. Cum o matrice unitară triunghiulară este în mod necesar diagonală
cu toate elementele diagonale de modul unitar (vezi exerciţiul 4.20), rezultă w j =
= We j = e iθj e j , j = 2:n, şi, deci, în (4.138) matricea diagonală D este chiar W,
i.e. avem D def
= W. Relaţiile (4.137) sunt o consecinţă imediată a relaţiei (4.138).
În cazul real demonstraţia este aceeaşi dacă se ţine seama de faptul că operaţia de
conjugare nu are efect şi că singurele numere reale de modul unitar sunt −1 şi 1.
Fie δ 1 = 1. Atunci elementele diagonale ale matricei D se determină cu relaţia de
recurenţă δ i = g i,i−1
δ i−1 de unde rezultă că, dacă g i,i−1 şi h i,i−1 au acelaşi semn,
h i,i−1
atunci δ i = 1, i = 2:n, i.e. D = I n .
✸
k=1