Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 313
rezultă
˜M = T23 −1 KT 23 = ⎢
⎣
⎡
⎤
0 K 12 Q 23 [ 0 ]
0ν2
0 0
I δ3
0 0 0
⎥
⎦ . (4.262)
Continuând în acelaşi mod, considerăm descompunerea unitară completă a blocului
K 12 actualizat [ ˜K 12 ,Q 12 ,Z 12 ,δ 2 ] = QRC21(K 12 Q 23 ) şi transformarea de asemănare
definită de matricea
⎡ ⎤
Q 12 0 0
T 12 = ⎣ 0 Z 12 R12 −1 0 ⎦. (4.263)
0 0 I δ3
Rezultă
⎡ [ ] ⎤
0ν1
0 0
M = T12 −1 ˜MT I δ2 [ ]
12 =
⎢ 0ν2
⎣ 0 0 ⎥
I δ3
⎦ . (4.264)
0 0 0
În cazul general, procesul descris mai sus, poate fi sintetizat în următoarea
schemă de calcul.
Pentru i = s : −1 : 2
1. [ ˜K i−1,i ,Q[ i−1,i ,Z i−1,i ] ,δ i ] = QRC21(K i−1,i )
0νi−1
2. K i−1,i ←
I δi
3. Dacă i > 2 atunci
1. K i−2,i−1 ← K i−2,i−1 Q i−1,i .
Observaţia 4.9 Punerea în evidenţă a matricelor unitate din structura creată cu
schema de calcul are în vedere obţinerea formei canonice Jordan uzuale. Ţinând
seama însă de faptul că esenţa structurală a formei Jordan rezidă în dimensiunile
celulelorJordan, sepoateoferiun plusde informaţie dacă înloculmatricelorunitate
se lasă matricele diagonale construite cu elementele diagonale ale matricelor R i−1,i
(sau cu valorile singulare (v. cap. 5) ale matricelor K i−1,i curente). În acest fel
se poate pune în evidenţă o eventuală fragilitate numerică a unor celule datorată
valorilor ”prea mici” ale unora dintre elementele diagonale amintite. ✸
Etapa 3 ◦ constă în transformări de asemănare tip permutare pentru a pune
în lumină celulele Jordan de dimensiuni corespunzătoare şi pentru eventuala lor
ordonare. Lăsăm în seama cititorului această sarcină.
În concluzie, parcurgând cele trei etape, se obţine forma canonică Jordan J 0 a
matricei strict superior triunghiulare N. Forma canonică Jordan a matricei iniţiale
A din (4.242) este J = λI n +J 0 .
Matricea nesingulară care defineşte transformarea de asemănare ce evidenţiază
forma canonică Jordan se obţine cumulând toate transformările efectuate pe parcursul
procedurii.
Rezumând cele prezentate mai sus, avem următoarea schiţă a unei posibile proceduri
de calcul a formei canonice Jordan.