Calculul valorilor si vectorilor proprii

352 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
[ ] 1.01 0.01
În cazul numeric A = , avem κ
0 1
λ1 = κ λ2 = √ 2, i.e. ambele
valori proprii sunt foarte bine condiţionate. Vectorii proprii normaţi ai matricei
neperturbate sunt
[ ] 1
x 1 = , x
0 2 = 1 [ √ ] [ ] 2
2 − √ 0.70710
≈ .
2 −0.70710
[ ] 1.01 0.01
Valorile proprii ale matricei perturbate F = A+ǫG =
10 −3 , unde ǫ =
[ ]
1
0 0
= 10 −3 şi G = (cu ‖G‖ = 1), sunt
1 0
ˆλ 1 ≈ 1.0109 şi ˆλ 2 ≈ 0.99908, i.e.
cu perturbări de ordinul de mărime al lui ǫ. În schimb, vectorii proprii normaţi ai
matricei perturbate sunt
ˆx 1 = x 1 (10 −3 ) ≈
[ 0.995830
0.091226
]
[
, ˆx 2 = x 2 (10 −3 ) ≈
0.67549
−0.73737
Se observă influenţa mult mai puternică a perturbaţiei asupra vectorilor proprii
decât asupra valorilor proprii. De exemplu, ˆx 2 are un element fără nici o cifră
zecimală corectă deşi perturbaţia a modificat numai a treia cifră zecimală a unui
element al matricei iniţiale. Aceasta se datoreşte faptului că vectorul propriu x 2
este relativ rău condiţionat întrucât κ x2 = 100/ √ 2.
✸
Exprimarea condiţionării vectorilor proprii şi, mai general, evaluarea erorilor în
calculul vectorilor proprii prin expresii de genul ‖ˆx−x‖ nu este întotdeauna semnificativădatorităfaptului
căvectoriiproprii,chiarnormaţi, nusuntunicdeterminaţi.
De exemplu, dacă ˆx = −x, i.e. ˆx este un vectorpropriu exact, avem‖ˆx−x‖ = 2. De
aceea, este preferabilă aprecierea influenţei perturbaţiilor asupra vectorilor proprii
prin evaluarea diferenţei unghiulare dintre vectorul exact şi cel perturbat, definită
prin
|x Hˆx|
θ(x,ˆx) = arccos
‖x‖·‖ˆx‖ = arccos|xHˆx|, (4.352)
ultima expresie fiind adevărată în cazul utilizării vectorilor normaţi ‖x‖ = ‖ˆx‖ = 1.
Prin definiţie, unghiul θ(x,ˆx), introdus în relaţia (4.352), este unghiul ascuţit dintre
direcţiile vectorilor x şi ˆx.
Această abordare poate fi extinsă la exprimarea condiţionării subspaţiilor invariante.
Fie două subspaţii U,V ⊂ IC n . Definim diferenţa unghiulară sau unghiul
ascuţit dintre subspaţiile U şi V prin
θ(U,V) = max
u∈U
u≠0
]
.
minθ(u,v). (4.353)
v∈V
v≠0
Evident, θ(U,V) = θ(V,U). Relaţia de definiţie (4.353) nu permite calculul unghiului
dintre două subspaţii dar mijloace pentru a face acest lucru există 58 . Fiind dată
o matrice A şi λ I ⊂ λ(A) un set de valori proprii ale acesteia, prin condiţionarea
58 Orelaţiecareexprimă unghiuldintre două subspaţiişigeneralizează expresia (4.352)aunghiu-