Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 219
Demonstraţie. Conform teoremei 4.2, matricea Q este unitară, A = QΛQ H unde
Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) şi, prin urmare,
µ(x) = x H Ax = y H Λy =
n∑
λ k |y (k) | 2 , y = Q H x = [y (1) y (2) ··· y (n) ] T .
k=1
(4.30)
Cum vectorii x şi y din (4.30) se află într-o relaţie biunivocă, iar transformările
unitare conservă norma euclidiană, rezultă că extremele funcţiei µ coincid cu extremele
funcţiei ν : S → IR, ν(y) = y H Λy. Din faptul că vectorii y sunt de normă
unitară, i.e. ∑ n
j=1 |y(j) | 2 = 1, rezultă
ν(y) = λ 1 −
n∑
n−1
∑
(λ 1 −λ j )|y (j) | 2 = (λ j −λ n )|y (j) | 2 +λ n . (4.31)
j=2
Întrucât sumele din relaţia (4.31) sunt, datorită (4.26), nenegative, iar valoarea
nulă a acestor sume se poate realiza, e.g. pentru y (j) = 0, j = 2 : n în primul
caz şi j = 1 : n − 1 în cel de al doilea, avem egalităţile (4.28). Dacă valorile
proprii maximă, respectiv minimă, sunt simple, atunci valorile extreme ale funcţiei
ν se ating pentru vectorii y de forma y 1 = [y (1) 0 ··· 0] T = e iθ1 e 1 , respectiv
y n = [0 ··· 0 y (n) ] T = e iθn e n , cu θ 1 , θ n ∈ IR. Prin urmare, cele două extreme ale
funcţiei µ se ating pentru vectorii x de forma x 1 = e iθ1 q 1 şi, respectiv x n = e iθn q n .
Dacă λ 1 are multiplicitatea s, iar λ n multiplicitatea t, atunci maximul se atinge
pentru orice vector x de normă unitară din V s = ImQ ′ s, i.e. subspaţiul A-invariant
asociat valorilor proprii λ j , j = 1 : s, iar minimul se atinge pentru orice vector de
normă unitară din W n−t .
Pentru cea de a doua parte a teoremei, dacă x ∈ W k = V ⊥ k atunci xH Q ′ k = 0 şi
y = Q H x = [0 ··· 0 y (k+1) ··· y (n) ] T . Prin urmare,
µ(x) = ν(y) = λ k+1 −
n∑
j=k+2
j=1
de unde, cu aceleaşi argumente ca mai sus, se obţine (4.29).
(λ k+1 −λ j )|y (j) | 2 , (4.32)
Rezultatul următor prezintă o interesantă caracterizareminimax a valorilorproprii
ale unei matrice hermitice (în cazul real, simetrice) şi este util prin consecinţele
sale. Notăm, generic, cu V subspaţiile liniare ale spaţiului IC n şi cu W = V ⊥ complementele
lor ortogonale în IC n . De asemenea, vom nota cu V S = V ∩S şi, respectiv,
W S = W ∩S, mulţimile vectorilor de normă euclidiană unitară din V şi W.
Teorema 4.4 (Courant – Fisher) Dacă matricea hermitică A ∈ IC n×n are valorile
proprii ordonate ca în (4.26) atunci pentru toţi k ∈ 1 : n avem
λ k = max
dimV = k
min x H Ax = min
x ∈ V S dimV = k
✸
max x H Ax 8 . (4.33)
x ∈ W S
8 Întrucât oricărui subspaţiu n − k dimensional din IC n îi corespunde un complement ortogonal
k dimensional, ultimul termen al egalităţilor (4.33) poate fi scris şi în forma λ k =
= min dimV = n−k max x ∈ VS x H Ax.