Calculul valorilor si vectorilor proprii

336 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
1. Pentru i = k 1 : k 2
1. σ i ← α
2. λ k2 ← β
3. % Calculul iterativ al grupului impus de valori proprii
1. Pentru k = k 2 : −1 : k 1
%Calcululvaloriipropriicurenteλ k şiactualizareaintervalelor
de localizare pentru valorile proprii λ j , j = k −1 : −1 : k 1
1. α ← σ k
2. C^at timp β −α > tol
1. γ = α+β
2
2. ν = ν(f,g,γ)
3. Dacă ν < k atunci
1. α ← γ
2. Dacă ν < k 1 şi k > k 1 atunci
1. Pentru i = k 1 : k −1
1. σ i = γ
altfel
1. Pentru i = ν +1 : k −1
1. σ i = γ
altfel β ← γ
3. λ k = γ
4. β ← γ
Comentarii. O sintaxă de utilizare naturală a algoritmului este
λ = BISECT(f,g,k 1 ,k 2 ,tol),
unde λ este vectorul valorilor proprii calculate. Deşi este dificil de stabilit o complexitate
corectă a algoritmului datorită, în primul rând, caracterului său iterativ,
practica a arătat că algoritmul BISECT, în varianta prezentată, este sensibil mai
rapid decât aplicarea repetată a aceleiaşi metode pentru fiecare valoare proprie individuală,
mai ales atunci când există valori proprii multiple sau apropiate. În [X]
se afirmă că algoritmul poate fi utilizat şi pentru calculul valorilor proprii ale unei
matrice tridiagonale nesimetrice T dacă elementele nediagonale satisfac condiţia
t i,i+1 t i+1,i > 0. În acest scop se utilizează datele de intrare f i = t ii , i = 1 : n, şi
g i = √ t i,i+1 t i+1,i , i = 1 : n−1.
Acurateţea rezultatelor este considerată a fi foarte bună, calculul într-un format
virgulă mobilă cu baza de numeraţie β şi un număr t de cifre al mantisei, conducând
launnivelalerorilorabsolutedeordinulβ −t max(|λ min |,|λ max |), nivelcarenupoate
fi redus prin creşterea numărului de iteraţii [X].
✸
4.9.3 Metode Jacobi
Metodele tip Jacobi, de calcul al valorilor proprii ale unei matrice simetrice, sunt
inferioare din punctul de vedere al eficienţei, apreciate prin numărul necesar de