Calculul valorilor si vectorilor proprii

378 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Demonstraţie. Considerămcazulk ≤ l = n−k. FieQ 11 = U 1 CV1 H DVSablocului
Q 11 unde C = diag(c 1 ,c 2 ,...,c k ) cu 1 ≥ c 1 ≥ c 2 ≥ ... ≥ c k ≥ 0, prima inegalitate
datorându-se faptului că σ 1 (Q) = 1 şi c 1 = σ 1 (Q 11 ) ≤ σ 1 (Q) (vezi exerciţiul 5.7).
Considerăm acum matricea
˜Q =
[ ] U
H
1 0
Q
0 I l
[ ] [
V1 0
=
0 I l
C U1 HQ ]
12
,
Q 21 V 1 Q 22
care este unitară ca produs de matrice unitare. Din egalitatea blocurilor 11 din
relaţia ˜Q H ˜Q = In obţinem
V H
1 QH 21 Q 21V 1 = I k −C 2 def
= S 2 = diag(s 2 1 ,s2 2 ,...,s2 k ),
cu s 2 i = 1−c2 i , i = 1:k. Luând s i = √ 1−c 2 i , obţinem 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ ... ≤ s k ≤ 1.
În continuare vom presupune că matricea S este nesingulară 7 . Fie acum matricea
def
U 21 = −Q 21 V 1 S −1 care are coloanele ortogonale (verificaţi!) şi U 22 o completare a
def
sa până la o matrice unitară, i.e. astfel încât matricea U 2 = [U 21 U 22 ] ∈ IC l×l să
fie unitară (vezi şi observaţia 4.3). Avem
[ ]
U
H
U2 H Q 21
21V 1 = Q 21 V 1 =
U H 22
[
−S −1 V H
1 QH 21 Q 21V 1
−U H 22 U 21S
]
=
[
−S
0
]
.
Mai departe, matricea
[ U
H
ˆQ = 1 0
0 U2
H
⎡
] [ ]
V1 0
Q = ⎣
0 I l
C U1 HQ ⎤
[ ] 12
−S ⎦
U
0
2 H Q 22
este unitară. Egalitatea blocurilor 22 din ˆQˆQ H = I n conduce la
[ ] [ ]
S
U2 H Q 22Q H 22 U 2
0 C
2
0
2 = I l − = .
0 0 0 I l−k
În continuare vom presupune că matricea C este nesingulară 8 . Definim matricea
V 2 prin
[ ]
def
V 2 = Q H C
22 U −1
0
2
0 I l−k
care, în virtutea ultimei relaţii de mai sus, este unitară şi
[ ] C 0
U2 H Q 22 V 2 = .
0 I l−k
7 Dacă S este singulară, atunci s 1 = s 2 = ... = s q = 0 pentru un q ≤ l şi corespunzător
c 1 = c 2 = ... = c q = 1. În acest caz primele q linii şi coloane ale matricei ˜Q sunt e T
i respectiv e i
i = 1 : q care au deja structura din (5.30) şi pot fi separate (pentru detalii suplimentare se poate
consulta şi demonstraţia teoremei ce urmează). Demonstraţia pentru restul matricei decurge ca
mai sus.
8 Dacă C este singulară, atunci c q = c q+1 = ... = c l = 0 pentru un q ≥ 1 şi corespunzător
s q = s q+1 = ... = s l = 1. În acest caz se procedează similar cu modul prezentat în nota de picior
precedentă.