Calculul valorilor si vectorilor proprii

430 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
unde am utilizat notaţiile
A 1 = AQ 1 , A 2 = AQ 2 , y = Q H 1 x, z = QH 2 x, ˜b = b−A1 y.
Acum, întrucât restricţiile sunt echivalente cu fixarea vectorului y conform (5.158),
problema CMMP cu restricţiile (5.156) s-a redus la problema minimizării normei
reziduului (5.159) în raport cu z, fără alte restricţii. Altfel spus, dacă z ∗ este soluţia
problemei CMMP fără restricţii
‖r ∗ ‖ def
= ‖A 2 z ∗ −˜b ∗ ‖ = min
z ∈ IC n−p‖A 2z −˜b ∗ def
‖, unde ˜b∗ = b−A 1 y ∗ , (5.160)
atunci, evident,
[ ] y
x ∗ ∗
= Q
z ∗
este soluţia problemei CMMP cu restricţii (5.155), (5.156).
Rezultă următorul algoritm de calcul.
Algoritmul 5.9 (CMMP RLE – Soluţia problemei CMMP cu
restricţii liniare tip egalitate) (Se consideră date matricea monică A ∈
∈ IC m×n , cu m > n, şi vectorul b ∈ IC m , care definesc problema CMMP,
precum şi matricea epică C ∈ IC p×n , cu p < n, şi vectorul d ∈ IC p , care
definesc restricţiile (5.156). De asemenea se consideră dată toleranţa tol
care este parametru de intrare pentru algoritmul CMMP fără restricţii.
Algoritmul calculează soluţia x = x ∗ a problemei CMMP cu restricţii
(5.155), (5.156).)
1. [Q,R] = FQR(C H )
2. Se rezolvă sistemul inferior triunghiular nesingular
(R(1 : p, :)) H y = d
3. b ← b−AQ(:,1:p)y
4. z = CMMP(AQ(:,p+1:n), b,tol)
[ ]
y
5. x = Q .
z
Comentarii. Apelul acestui algoritm are sintaxa
x = CMMP RLE(A,b,C,d,tol).
(5.161)
Pentru algoritmul de factorizare QR a se vedea capitolul 3. De asemenea, dacă se
ştie a priori faptul că matricea A este monică, atunci rezolvarea problemei CMMP
fără restricţii se poate face cu mijloacele din capitolul 3. Dacă matricea A nu este
monică, se impune utilizarea factorizării QR cu pivotarea coloanelor sau a DVS.
Algoritmul este numeric stabil iar complexitatea sa este O(n 3 ). ✸
Observaţia 5.11 Problema CMMP cu restricţii liniare tip inegalitate se tratează
utilizând proceduri specifice de programare pătratică şi nu este abordată în această
lucrare.
✸