Calculul valorilor si vectorilor proprii

420 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
1. [U,Σ,V] = DVS(A,opt1,opt2)
2. r = Rang DVS(Σ,tol)
la instrucţiunea 2 matricea argument fiind diagonal˘ nu se mai calculează în fapt
nici o DVS.
Complexitatea algoritmului este dată, în cazul general, de complexitatea algoritmului
DVS fără acumularea transformărilor.
✸
Observaţia 5.8 În definirea şi calculul rangului numeric a fost utilizată, în exclusivitate,
norma spectrală. În unele lucrări [VI], pentru dezvoltareaaceloraşiidei, se
preferă utilizarea normei Frobenius, rezultatele fiind întru totul similare. În această
observaţie prezentăm rezultatul corespunzător teoremei 5.14, care ne va fi util şi în
rezolvarea problemei celor mai mici pătrate totală.
Teorema 5.15 Dacă Σ = UAV H este DVS a matricei A ∈ IC m×n , k < r = rangA
26 şi A k este matricea definită în (5.120), atunci
r∑
min ‖A−X‖ 2 F = ‖A−A k‖ 2 F = σi 2 . (5.123)
rangX=k
i=k+1
X∈IC m×n
Mai mult A k este unica matrice de rang k pentru care acest minim este atins.
Demonstraţie. Fie X ∈ IC m×n [ o matrice ] de rang k arbitrară şi X = Ũ˜ΣṼ H
DVS a matricei X, unde ˜Σ
˜Σ11 0
= ∈ IR m×n cu
0 0
˜Σ 11 = diag(˜σ 1 ,˜σ 2 ,...,˜σ k ).
[ ]
Notăm B = ŨH AṼ = B11 B 12
cu B
B 21 B 11 ∈ IC k×k . Fie σ(B 11 ) = {γ 1 ,γ 2 ,...,γ k }.
22
Evident, σ(A) = σ(B) şi, din teorema 5.11, de separarea valorilorsingulare, rezultă
imediat σ i ≥ γ i , i = 1 : k. Rezultă ‖B 11 ‖ 2 F = ∑ k
i=1 γ2 i ≤ ∑ k
i=1 σ2 i . Avem, în
consecinţă, următoarele evaluări:
‖A−X‖ 2 F = ‖B − ˜Σ‖
k∑
2
F = ‖B‖2 F + |b jj − ˜σ j | 2 −
j=1
≥ ‖B‖ 2 F −‖B 11 ‖ 2 F ≥ ‖B‖ 2 F −
k∑
|b jj | 2 ≥
j=1
k∑
σi 2 =
i=1
r∑
i=k+1
Pe de altă parte este evidentă egalitatea ‖A−A k ‖ 2 F = ∑ r
i=k+1 σ2 i , i.e. minimul
este atins pentru X = A k . Vom arăta acum că X = A k este singura matrice de
rang k astfel încât ‖A−X‖ 2 F = ∑ r
i=k+1 σ2 i . Cu notaţiile utilizate mai sus rezultă
k∑
σj 2 +
j=1
k∑
|b jj − ˜σ j | 2 −
j=1
k∑
|b jj | 2 = 0
j=1
26 Aici, la fel ca în teorema 5.14, r este rangul matematic.
σ 2 i.