Calculul valorilor si vectorilor proprii

532 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
3. C^at timp eps > tol
1. Se calculează µ = x H B −1 Ax (i.e. se rezolvă Bz = Ax, apoi µ = x H z)
2. Se rezolvă sistemul liniar (A−µB)y = Bx
3. y = y/‖y‖
4. eps = |1−|x H y||
5. x = y
6. k = k +1
7. Dacă k > nr max iter
1. Tipăreşte ’S-a atins numărul maxim de iteraţii fără a se
realiza toleranţa impusă.’
2. Return
unde eps, tol şi nr max iter au semnificaţii transparente.
P6.7 Dacă Bx = 0, atunci şi Ax = 0, i.e. egalitatea Ax = λBx ar fi satifăcută pentru
orice λ ∈ IC, i.e. fascicolul nu ar fi regulat.
P6.8 Avem g i+1,i = h i+1,i/t ii, i = 1 : n−1.
P6.9 Fie λ 1 ∈ λ(H,T) ⊂ IR. Atunci v =
⎡
⎢
⎣
λ 1t 22 −h 22
h 21
⎤
⎥
⎦ este un vector propriu
1
generalizat asociat lui λ 1, i.e. Hv = λ 1Tv şi S = Imv este un subspaţiu de deflaţie al
fascicolului (H,T). Atunci construim matricele Q şi Z procedând în felul următor. Fie
z 1 = v/‖v‖, z 2 un vector de normă unitară ortogonal cu z 1 (construiţi-l!) şi matricea
Z = [z 1 z 2]. Avem (HZ,TZ) = ([Hz 1 Hz 2],[Tz 1 Tz 2]) = ([λ 1Tz 1 Hz 2],[Tz 1 Tz 2]).
Acum dacă Q este o matrice ortogonală de ordinul 2 (reflector sau rotaţie) astfel încât
(Q T Tz 1)(2) = 0 vom avea ( ˜H, ˜T)(2,1) = (Q T HZ,Q T TZ)(2,1) = 0, i.e. ( ˜H, ˜T) este în
formă Schur. Evident, ˜h 11/˜t 11 = λ 1.
P6.10 Dacă L este factorul Cholesky al lui B, atunci λ(A,B) = λ(L −1 AL −T ) şi
matricea L −1 AL −T fiind simetrică are spectrul real. Dacă B nu este pozitiv definită
valorile proprii generalizate [ ] pot[ fi şi complexe ] după cum se poate constata din exemplul
1 5 1 2
următor 20 A = , B = . Dacăfactorul Cholesky L este binecondiţionat
5 9 2 1
numeric, atunci se calculează matricea C = L −1 AL −T exploatând corespunzător simetria
rezultatului şi i se calculează valorile proprii folosind algoritmul QR simetric. Dacă L este
rău condiţionată se aplică algoritmul QZ. Dinpăcate, în acest dinurmăcaz, transformările
ortogonale de echivalenţă nu conservă simetria.
P6.11 a) Se procedează ca în cazul complex, cu precizarea ca problema se reduce
la rezolvarea unui sistem liniar omogen cvasi-superior triunghiular. b) Rezolvaţi mai întâi
problema pentru perechea 2×2 (S(k : k +1,k : k +1),T(k : k +1,k : k +1).
P6.12 Fie M = S(k : k + 1,k : k + 1) şi N = T(k : k + 1,k : k + 1) blocurile
diagonale 2×2 de interes ale matricelor S şi T. Cei doi vectori proprii liniar independenţi
există dacă şi numai dacă perechea (M,N) în FSG admite doi vectori proprii generalizaţi
liniar independenţi. Dar m 11n 22 = m 22n 11, deci răspunsul este afirmativ numai dacă
m 11n 12 = m 12n 11.
20 Se poate arăta că oricare ar fi matricea C ∈ IR n×n diagonalizabilă există matricele simetrice
A,B ∈ IR n×n cu B nesingulară astfel încât C = AB −1 [VI]. În consecinţă, oricare ar fi mulţimea
simetrică (i.e. având elementele complexe în perechi complex conjugate) Λ de n numere există o
pereche reală (A,B) cu matricele A, B simetrice astfel încât λ(A,B) = Λ.