Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 485
perechea (S,T) în FSG putând suprascrie (intern) perechea (A,B).
La fel ca în cazul algoritmului QR, există date de intrare pentru care algoritmul
nuesteconvergent,deşiacestlucruse întâmplăextremderar înpractică. Aici, după
30 de iteraţii fără progresul parametrului structural q se declară eşecul algoritmului
deşi mai există şanse de convergenţă printr-o modificare empirică a vectorului de
deplasare după un număr precizat de iteraţii, e.g. 10 sau 20 (v. cap. 4).
Acceptând evaluarea conform căreia sunt suficiente, în medie, două iteraţii pentru
a pune în evidenţă o valoare proprie generalizată, algoritmul necesită un număr
de N A op = 30n 3 flopi fără acumularea transformărilor, N Q op = 16n 3 flopi suplimentari
pentru calculul lui Q şi N Z op = 20n 3 flopi pentru acumularea lui Z. Putem, deci,
considera că pentru fascicole de ordin superior (e.g. n > 100) algoritmul QZ are o
complexitate O(n 3 ).
Şi aici, utilizareaexclusivăatransformărilorortogonaleconferăalgoritmuluiQZ
o foarte bună stabilitate numerică. Concret, perechea calculată (S,T) satisface
S = ˜Q T (A+E)˜Z,
T = ˜Q T (B +F)˜Z,
unde ˜Q, ˜Z sunt matrice riguros ortogonale, iar matricele de perturbaţie E şi F
satisfac condiţiile
‖E‖ 2
≈ ε M ‖A‖ 2
, ‖F‖ 2
≈ ε M ‖B‖ 2
.
Pentru consideraţii suplimentare vezi secţiunea 6.5.
✸
∗
∗
∗
Încheiem acestparagrafcu regretullipsei de spaţiu tipograficpentru prezentarea
algoritmilor de calcul al formei diagonale generalizate a fascicolelor hermitice (în
cazulreal,simetrice)pozitiv definite. Pentruintroducerea înproblemărecomandăm
rezolvarea exerciţiului 6.10, iar pentru detalii şi indicaţii bibliografice suplimentare
consultarea lucrării [VI].
6.3.4 Calculul vectorilor proprii generalizaţi
Considerămimportantsăprecizămdela începutcă înmulteaplicaţiivectoriiproprii
generalizaţi pot fi înlocuiţi cu succes de către vectorii Schur corespunzători, i.e. de
către coloanele matricelor de transformare Z şi Q.
Dacă se doreşte totuşi determinarea explicită a vectorilor proprii generalizaţi
aceştia pot fi calculaţi, după execuţia algoritmului QZ corespunzător, în două
modalităţi:
a) prin rezolvarea sistemelor liniare singulare corespunzătoare;
b) prin câteva iteraţii (teoretic, într-o singură iteraţie) ale metodei puterii inverse
generalizate.
Prezentăm succint prima variantă pentru cazul complex (pentru cazul real vezi
exerciţiul 6.11). Un vector propriu generalizat x k ∈ IC n , asociat valorii proprii generalizate
finite λ k = s kk /t kk este un vector nenul care satisface sistemul singular
Ax k = λ k Bx k . (6.68)