Calculul valorilor si vectorilor proprii

356 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Subliniem, în încheierea acestui paragraf, că alte evaluări utile ale efectelor
perturbaţiilor în datele iniţiale sunt consecinţe directe ale teoremelor 4.6 şi 4.7.
B. Condiţionarea vectorilor proprii şi a subspaţiilor invariante
Deşi valorile proprii ale matricelor hermitice sunt perfect condiţionate nu acelaşi
lucru se poate spune despre vectorii proprii şi subspaţiile invariante, a căror condiţionare
este dependentă, la fel ca în cazul general, de separarea seturilor de valori
proprii cărora le sunt asociate de restul spectrului matricei date. Singura particularitate,
menţionată deja într-unul din paragrafele precedente, constă în faptul că
parametrii de separare sep i , respectiv sep I , definite în (4.354), coincid cu distanţele
dintre spectre gap i , respectivgap I , definite în (4.355)şi, în consecinţă, se calculează
mult mai uşor.
4.11 Stabilitatea numerică a algoritmului QR
O problemă de calcul numeric rău condiţionată nu poate fi rezolvată bine într-un
mediu de calcul aproximativ. În schimb, o problemă bine condiţionată poate fi
rezolvată prost dacă nu se utilizează un algoritm corespunzător. Contribuţia unor
algoritmi concreţi de calcul la nivelul erorilor din rezultate, un atribut esenţial al
calităţii lor, este apreciată cu ajutorul conceptului de stabilitate numerică şi se face
curent prin evaluarea acestei contribuţii în ”echivalent erori în datele iniţiale” (vezi
cap. 0). În acest sens, amintim că un algoritm este considerat numeric stabil dacă
rezultatele oferite de execuţia sa sunt rezultate exacte ale problemei cu date iniţiale
ce diferăde datele realela nivelulerorilorde reprezentare,eventualmultiplicate cu o
funcţie de dimensiunea problemei având o ”creştere modestă”. Garanţia ţinerii sub
control a erorilor de calcul se poate da numai pentru probleme bine condiţionate,
cu restricţia utilizării unor algoritmi numeric stabili.
Pentru probleme de calcul netriviale, cum este calculul valorilor şi vectorilor
proprii, analiza erorilorintroduse de calculul în virgulă mobilă este o sarcinăextrem
de dificilă. Mai mult, stabilirea unor margini cât mai exacte ale erorilor (reduse la
nivelul datelor iniţiale) nici nu are o relevanţă majoră. Aşa cum reiese dintr-o
experienţă ce poate fi considerată semnificativă, un obiectiv mai important al analizei
numerice îl constituie sesizarea unor situaţii de instabilitate numerică, situaţii
în care utilizarea algoritmului respectiv trebuie interzisă. De aceea, în continuare
ne propunem să prezentăm, fără demonstraţii sau justificări matematice profunde,
rezultatele existente în literatura de specialitate referitoare la stabilitatea numerică
a algoritmilor prezentaţi în acest capitol şi, în primul rând, a algoritmului QR.
Rezultatul principal constă în faptul că algoritmul QR de calcul al valorilor şi
vectorilor proprii ai unei matrice n×n reale sau complexe A este numeric stabil şi
acest fapt se datorează esenţial utilizării exclusive a transformărilor unitare 62 (în
cazul real, ortogonale). Concret, forma Schur (în cazul real, reală sau complexă)
calculată Ŝ este o formă Schur exactă a unei matrice  = A+E foarte apropiate
62 Procedura de echilibrare, singura care nu utilizează transformări unitare, a fost astfel concepută
încât toate calculele sunt exacte, deci nu apar probleme de stabilitate.