Calculul valorilor si vectorilor proprii

450 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
(în cazul real, T se consideră reală). Este uşor de constatat că două fascicole congruente
sunt simultan hermitice (în cazul real, simetrice) sau nu, iar două fascicole
hermitice (simetrice) congruente sunt simultan pozitiv definite sau nu. În secţiunea
următoare vom vedea în ce condiţii un fascicol hermitic poate fi adus printr-o transformare
de congruenţă la forma diagonală.
∗
∗
∗
În cazul general, structura ”fină” a unei perechi de matrice, care poate fi dezvăluită
prin transformări de echivalenţă corespunzătoare, este dată de aşa numita
formă canonică Kronecker [I]. La fel ca şi în cazul formei canonice Jordan, rolul
formei canonice Kronecker în calculul numeric este mult diminuat de sensibilitatea
ei la perturbaţii în elementele matricelor iniţiale, perturbaţii inerente în aritmetica
în virgulă mobilă. Acesta este motivul pentru care în toate dezvoltările numerice
se preferă o structură mult mai robustă şi anume forma Schur (complexă sau reală)
generalizată a perechii (A,B) prezentată în continuare.
6.2 Forma Schur generalizată
Transformările de echivalenţă unitare, respectiv ortogonale în cazul real, prezintă
proprietăţi numerice remarcabile şi, de aceea, sunt utilizate în exclusivitate pentru
calculul performant al valorilor proprii generalizate. Pe de altă parte, structurile
canonice, cum este forma Kronecker, nu se pot obţine, în general, prin astfel de
transformări. De aceea, ca şi în cazul determinării valorilor proprii ordinare, se
utilizează, practic în exclusivitate, structurile triunghiulare sau cvasi-triunghiulare.
Rezultatul principal al acestui paragraf arată că orice pereche de matrice (A,B)
este unitar echivalentă cu o pereche de matrice triunghiulare numită forma Schur
generalizată. Vom trata distinct cazul perechilor de matrice reale.
6.2.1 Forma Schur generalizată (complexă)
Calculul valorilor proprii generalizate este intim legat de calculul vectorilor proprii
generalizaţi asociaţi. Dacă λ ∈ λ(A,B) este cunoscută, atunci vectorul propriu
asociat este o soluţie nenulă a unui sistem liniar omogen. Dacă se cunoaşte un
vector propriu generalizat x al perechii (A,B), cu B nesingulară, atunci valoarea
proprie generalizată asociată poate fi calculată cu relaţia 7
λ = xH B −1 Ax
x H . (6.13)
x
Dacă gradul polinomului caracteristic al fascicolului este superior lui patru, calculul
valorilor proprii generalizate, în absenţa cunoaşterii vectorilor proprii asociaţi, este,
7 O altă relaţie ce poate fi utilizată pentru calculul unei valori proprii generalizate finite a unui
fascicol regulat este λ = xH B H Ax
x H B H , care exprimă faptul că λ este soluţia în sensul celor mai mici
Bx
patrate a sistemului λBx = Ax (vezi şi exerciţiul 6.7).