Calculul valorilor si vectorilor proprii

Capitolul 5
Descompunerea valorilor
singulare
Descompunerea valorilor singulare (DVS) joacă un rol fundamental în evidenţierea
proprietăţilor structurale legate nemijlocit de conceptul de rang matriceal. În contextul
calcului numeric se impune o reevaluare a noţiunii de rang întrucât, datorită
toleranţelor admise, definirea uzuală capătă un caracter ambiguu. În aceste
circumstanţe, devine utilă introducerea conceptului de distanţă până la o matrice
de rang imediat inferior şi a noţiunii pragmatice de rang numeric.
Calculul DVS este intim legat de conceptul de ortogonalitate fiind bazat, în
exclusivitate, pe utilizarea transformărilor unitare (ortogonale). Acest fapt induce
calităţi numerice remarcabile tuturor procedurilor de rezolvare a problemelor ce
apelează la DVS.
În ceea ce priveşte aplicaţiile, în cadrul general al matricelor de rang nemaximal,
DVS constituie cel mai bun mijloc numeric de rezolvare a numeroase probleme de
metrică euclidiană cum sunt problema generală a celor mai mici pătrate, calculul
bazelor ortogonale pentru subspaţii liniare etc.
5.1 Formularea problemei
5.1.1 Valori singulare. Descompunerea valorilor singulare
Având în vedere conexiunea intimă a descompunerii valorilorsingularecu conceptul
de rang 1 , vom introduce mai întâi definiţia uzuală a noţiunii de rang matriceal.
Fie A ∈ IC m×n 2 .
1 Unele dintre noţiunile utilizate în continuare au fost definite, într-un context introductiv, în
capitolul 1. Pentru confortul cititorului, preferăm reluarea acestora în cadrul extins şi specializat
al capitolului de faţă.
2 Vom considera cazul, mai general, al matricelor complexe. Particularizarea rezultatelor cu
caracter teoretic pentru matrice reale este imediată reducându-se, practic în toate situaţiile, la
înlocuirea operatorului hermitic (i.e. de transpunere şi conjugare) cu operatorul de transpunere.
În dezvoltările algoritmice cazul matricelor reale va fi tratat distinct.