Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 215
În cazul general, structura ”fină” a unei matrice, care poate fi dezvăluită prin
transformărideasemănarecorespunzătoare,estedatădeaşanumitaformă canonică
Jordan. Deşi forma canonică Jordan joacă un rol esenţial în analiza matriceală,
conţinând maximum de informaţie structurală privitor la o matrice dată, totuşi
rolul ei în calculul numeric este mult diminuat de sensibilitatea structurii Jordan la
perturbaţii numerice în elementele matricei iniţiale, perturbaţii inerente în calcule
efectuate pe un calculator datorită reprezentării informaţiei numerice în virgulă
mobilă. Acesta este motivul pentru care în toate dezvoltările numerice se preferă
o structură mult mai robustă şi anume forma Schur reală sau complexă prezentată
într-una din secţiunile următoare 5 .
4.1.4 Valorile proprii ale matricelor simetrice şi hermitice
Prezentăm în continuare câteva rezultate referitoare la valorile şi vectorii proprii
pentru matricele hermitice (simetrice). Matricele hermitice (simetrice) se întâlnesc
în numeroase aplicaţii şi prezintă particularităţi remarcabile.
Definiţia 4.4 Fie A ∈ IC n×n . Matricea A se numeşte normală dacă
A H A = AA H . (4.19)
În cazul real, matricea A ∈ IR n×n este normală dacă
A T A = AA T . (4.20)
În acest context reamintim că matricea A se numeşte hermitică dacă A H = A
şi simetrică dacă A T = A. De asemenea, o matrice A ∈ IC n×n se numeşte unitară
dacă A H A = I n şi ortogonală dacă A T A = I n .
Se constată imediat că matricele hermitice şi cele unitare sunt matrice normale.
Matricele hermitice au proprietatea că elementele simetrice faţă de diagonala principală
sunt complex conjugate, i.e. a ij = ā ji , i,j ∈ 1 : n, deci elementele diagonale
ale matricelor hermitice sunt reale. O matrice hermitică reală este simetrică. O
matrice unitară reală este ortogonală. Prin urmare matricele reale simetrice sau
ortogonale sunt normale. Există [ matrice ] normale care nu sunt nici simetrice nici
1 −1
ortogonale, de exemplu A = .
1 1
Prezentăm în continuare câteva rezultate fundamentale, urmând ca aspectele
specifice legate de calculul efectiv al valorilor şi vectorilor proprii pentru matrice
hermitice (simetrice) să fie date în două secţiuni distincte (§4.8 şi §4.9), iar cele
legate de condiţionare şi stabilitate în §4.10 şi §4.11.
Teorema 4.1 O matrice n×n complexă A este normală dacă şi numai dacă admite
un set complet de n vectori proprii ortogonali, adică există o matrice unitară Q ∈
∈ IC n×n ale cărei coloane sunt vectori proprii ai matricei A astfel încât
Q H AQ = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) ∈ IC n×n . (4.21)
5 Algoritmii de reducere la forma canonică Jordan, prezentaţi în unele lucrări de matematică
(vezi, e.g. [XVI]) nu prezintă interes practic decât în contextul unor medii de calcul exact. Pentru
detalii privitoare la aspectele numerice şi algoritmice ale calculului formei canonice Jordan, vezi
secţiunea 4.7.