Calculul valorilor si vectorilor proprii

214 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
sau al unui grup de valori proprii pot fi utilizate tehnici specifice, ne vom concentra
demersul nostru, în principal, asupra problema de calcul al întregului spectru. Problema
calculului vectorilor proprii va fi tratată în subsidiar, ţinând seama şi de
faptul că în multe aplicaţii calculul explicit al vectorilor proprii poate fi (şi este bine
să fie) evitat.
4.1.3 Matrice asemenea
Urmând metodologia generală de reducere a unei probleme de calcul la alte probleme
mai simple, utilizată şi în capitolele precedente, suntem interesaţi să evidenţiem
transformările matriceale care conservă spectrul unei matrice date.
Aşa cum s-a specificat şi în §1.10, valorile proprii sunt conservate de transformările
de asemănare definite mai jos.
Definiţia 4.3 Două matrice A,B ∈ IC n×n se numesc asemenea dacă există o matrice
nesingulară T ∈ IC n×n astfel încât
B = T −1 AT. (4.15)
Dacă matricea de transformare T este unitară, atunci matricele A şi B se numesc
unitar asemenea. În cazul real, dacă matricea de transformare T este ortogonală,
matricele A şi B se numesc ortogonal asemenea.
Într-adevăr,conformteoremei1.14,dacămatriceleA,B ∈ IC n×n satisfacorelaţie
de forma (4.15), i.e. sunt asemenea, atunci ele au acelaşi spectru 3
λ(A) = λ(B) (4.16)
şi dacă x este un vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ ∈ λ(A),
atunci vectorul
y = T −1 x (4.17)
este un vector propriu al matricei B, asociat aceleiaşi valori proprii.
În dezvoltările din această lucrare vom insista asupra cazului generic al matricelorde
ordinn careadmit un set (complet) de n vectoripropriiliniar independenţi.
Aşa cum s-a demonstrat în teorema 1.15, în acest caz, utilizând în (4.15) ca matrice
de transformare T = X, unde X este o matrice având drept coloane n vectori
proprii liniar independenţi ai matricei A, obţinem o matrice diagonală:
X −1 AX = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ j ,...,λ n ) ∈ IC n×n . (4.18)
Astfel de matrice se numesc diagonalizabile (peste IC). Dacă o matrice n×n are n
valori proprii distincte, atunci este diagonalizabilă dar reciproca nu este, în general,
adevărată 4 .
3 De remarcat faptul că transformările uzuale cum ar fi multiplicările cu matrice (la stânga
sau la dreapta) alterează spectrul matricei date. În particular, operaţiile elementare cu linii sau
coloane, inclusiv permutările, pot modifica valorile şi vectorii proprii.
4 O matrice cu toate valorile proprii simple (i.e. distincte) se numeşte cu spectru simplu, iar
matricele care admit seturi complete de vectori proprii liniar independenţi sunt cunoscute sub
denumirea de matrice simple. În acest din urmă caz multiplicităţile algebrice ale valorilor proprii
distincte coincid cu multiplicităţile lor geometrice. Evident, matricele cu spectru simplu sunt
simple dar nu şi reciproc.