Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.5. CALCULUL VECTORILOR PROPRII 283
a[ părţilor reală u şi imaginară ] v ale vectorilor proprii asociaţi. Întrucât matricea
S33 −αI n3 βI n3
este nesingulară rezultă u
−βI n3 S 33 −αI 3 = 0, v 3 = 0. Acum, dacă
n3
vectoriibidimensionali u 2 şi v 2 formeazăosoluţie nenulă a sistemului liniar omogen,
singular, real, de patru ecuaţii cu patru necunoscute,
[ ]
S22 −αI 2 βI 2
, (4.181)
−βI 2
S 22 −αI 2
][
u2
v 2
]
=
atunci u 1 , v 1 se calculeazărezolvând, cu mijloacele clasice, sistemul liniarnesingular
[ ][ ] [ ]
S11 −αI n1 βI n1 u1 S12 u
= − 2
. (4.182)
−βI n1 S 11 −αI n1 v 1 S 12 v 2
Pentru calculul unei soluţii nenule a sistemului liniar omogen (4.181) se constată
uşorcă, de exemplu, vectorulnenul u 2 ∈ IR 2 poate fi alesarbitrar, e.g. u 2 = [1 0] T ,
caz în care vectorul v 2 ∈ IR 2 se obţine rezolvând sistemul liniar, nesingular, de două
ecuaţii
(S 22 −αI 2 )v 2 = βu 2 . (4.183)
Cuacesteprecizăriputem prezentaurmătorulalgoritmdecalculalvectorilorproprii
ale unei matrice în formă Schur reală.
Algoritmul 4.14 (VPS – Calculul vectorilor proprii ai unei matrice
în formă Schur reală) (Dată matricea S ∈ IR n×n , în formă Schur
reală, cu valori proprii distincte, algoritmul calculează un set de vectori
proprii ai matricei S. Vectorii proprii x j , asociaţi valorilor proprii reale
λ j = s jj sunt situaţi în coloanele j ale matricei X, i.e. x j = X(:,j).
Pentru valorile proprii complex conjugate corespunzătoare blocului diagonal
S(j : j +1,j : j +1), vectorii proprii asociaţi x j,j+1 = u j ±iv j
sunt obţinuţi prin calculul vectorilor reali u j şi v j care se memorează în
coloanele j şi j+1 ale matricei X, i.e. u j = X(:,j) şi v j = X(:,j+1).)
1. Dacă n = 1 atunci
1. X = 1
2. Return
2. j = 1
3. C^at timp j < n
[ 0
0
1. Dacă s j+1,j = 0 atunci
1. X(j +1 : n,j) = 0
2. x jj = 1
3. Dacă j > 1 atunci
1. Se rezolvă sistemul cvasisuperior triunghiular
(S(1:j−1,1:j−1)−s jj I j−1 )X(1:j−1,j) = −S(1:j−1,j)
4. j ← j +1
altfel