Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.13. PROBLEME 365
P 4.43 Fie matricea A ∈ IC n×n şi U ∈ IC n×k o matrice cu coloanele ortogonale (i.e.
U H U = I k ). Dacă funcţia f : IC k×k → IR + este definită de f(X) = ‖AU −UX‖ F, arătaţi
că f admite un minim care se atinge pentru X = U H AU. Care este valoarea acestui
minim
P 4.44 Presupunem că matricea A ∈ IC n×n are valorile proprii distincte şi că B ∈ IC n×n
comută cu A, i.e. AB = BA. Arătaţi că dacă Q H AQ = S este descompunerea Schur a lui
A, atunci T = Q H BQ este superior triunghiulară.
P 4.45 a) Dat un vector nenul x ∈ IC n , elaboraţi un algoritm de calcul al unui vector
v ∈ IC n astfel încât v H x = 1. b) Presupunem că matricea A ∈ IC n×n are valorile proprii
λ i, i = 1 : n, iar x i, i = 1 : n, sunt vectori proprii asociaţi. Fie un vector v ∈ IC n astfel
încât v H x 1 = 1 şi matricea B = (I n − x 1v H )A. Arătaţi că λ(B) = {0,λ 2,...,λ n}, iar
vectorii x B 1 = x 1, x B i = x i −(v H 1 x i)x 1 formează un set de vectori proprii ai matricei B.
P 4.46 a) Fie doi vectori nenuli x,y ∈ IC n astfel încât y H x = 1. Demonstraţi existenţa
şi stabiliţi un mod de calcul al matricelor X,Y ∈ IC n×n care satisfac condiţiile Xe 1 = x,
Ye 1 = y şi Y H X = I n. b) Fie A ∈ IC n×n , λ o valoare proprie simplă a lui A şi x,y vectorii
proprii la dreapta, respectiv la stânga, ai lui A asociaţi lui λ. Demonstraţi existenţa şi
stabiliţi un mod [ de calcul ] al matricei X ∈ IC n×n care realizează o deflaţie diagonală, i.e.
λ 0
X −1 AX = . c) Presupunând că dispuneţi de o procedură de calcul al unui
0 B
vector propriu al unei matrice date, având sintaxa x = vp(A), elaboraţi un algoritm de
diagonalizare a unei matrice A ∈ IC n×n simple.
P 4.47 a) Care va fi rezultatul aplicării metodei puterii matricei A =
[ ] 5 8 1
0 1 2
0 0 2
b) Discutaţi, în raport cu parametrii reali α şi β, rezultatul aplicării metodei puterii
[ ] α 1 1
matricei B = 0 1 β
0 1 1
.
P 4.48 Presupunem căîn locul condiţiei de terminare a iterării din algoritmii 4.1 şi 4.2, de
implementare a metodei puterii şi, respectiv, a metodei puterii inverse, utilizaţi condiţia
ca norma diferenţei dintre vectorii calculaţi la doi paşi consecutivi să devină inferioară
unei toleranţe impuse, i.e.
e k = ‖y (k) −y (k−1) ‖ < tol.
Scrieţi, în limbajul de programare preferat, programe pentru implementarea algoritmilor
menţionaţi şi testaţi-le pe mai multe exemple. Puteţi explica de ce o astfel de condiţie de
trunchiere nu funcţionează întodeauna pentru şirurile de vectori a căror direcţie converge,
totuşi, către o direcţie proprie Consideraţi atât cazul real cât şi cel complex.
P 4.49 Presupunând că dispuneţi de o procedură de calcul al unui vector propriu al unei
matrice A ∈ IC n×n date, procedură având sintaxa x = vp(A), elaboraţi un algoritm de
calcul al unei formei Schur a matricei A. Ce relaţie există între vectorii proprii utilizaţi
pentru calculul formei Schur şi cei ai matricei A
P 4.50 Elaboraţi un algoritm pentru reducerea unei matrice A ∈ IR n×n la forma superior
Hessenberg H = TAT −1 , unde T este o secvenţă de transformări elementare stabilizate
M iP i, i = 2 : n−1 (de tipul celor utilizate, de exemplu, la eliminarea gaussiană).